La realidad del infierno

En estos tiempos modernos del siglo XXI, el hablar del infierno se ha convertido en algo cada vez más laborioso. Mientras unos argumentan que la vida después de la muerte no existe y por ende tampoco el tal sitio arcaico imaginado por Dante, otros creen que sí pero que no hay que preocuparse, pues Dios, en su infinita misericordia, no enviaría a nadie allí, incluidos aquellos que ni siquiera creen en su existencia (quiero decir la de Dios). Si el infierno existe, dicen otros, debe ser un sitio casi vacío, solo poblado por seres realmente malévolos, únicamente los más viles y nadie más, y así podemos vivir tranquilos sin preocupación ulterior alguna.

De acuerdo a las Sagradas Escrituras, es decir la Santa Biblia, el hijo de Dios, Jesús, se hizo hombre para que aquéllos que se acogieran a su sacrificio en la cruz pudieran tener vida eterna en el cielo y así evitar el sufrimiento en el polvo prescrito a nuestro pecado. Esta premisa está siendo cuestionada hoy por hoy, pues no pocos argumentan, y aún en sitios donde no debería suceder, que el sacrificio del Cristo, en virtud a su amor universal, se hace automáticamente extensivo a todos y sin requerir la aceptación del caso, es decir que Él sea el camino, la verdad y la vida. Todo camino llega, nos repiten con seguridad ecuménica, pero esto es tan incoherente como ganarnos la lotería en esta tierra sin siquiera comprar el boleto.

Esta campanita muestra cómo la teoría del caos, descrita en algún detalle en la entrada anterior, permite hallar un modelo de un infierno real y eterno, caracterizado por vagar en el polvo y con el sufrimiento del fuego, el cual es pertinente evitar, a toda costa, aceptando al hijo de Dios quien, en efecto, nos protege de semejante espanto infinito.

Como se vio anteriormente, la fórmula usada para describir el concepto del caos es el mapa logístico:

en donde X es el tamaño de una población normalizada de conejos entre 0 y 1, k y k+1 son generaciones sucesivas, y α es un parámetro entre 0 y 4.

Al reiterar la ecuación una y otra vez, ella da lugar a diversos comportamientos, como lo encontrado para α = 2.8:

en donde la parábola produce, de una generación a la siguiente, una secuencia {\bf X_0}{\bf X_1}{\bf X_2}→ … → {\bf X_\infty}, esbozada por las líneas verticales-horizontales mostradas, en la cual la población de conejos se estabiliza.

Pero, tal y como lo estudiamos, no siempre se encuentra una sucesión tan sencilla hacia un solo punto, y la ecuación logística, dependiendo del parámetro α, produce una gran diversidad de límites {\bf X_\infty}, lo cual está dibujado en el icónico diagrama de las bifurcaciones:

Cuando α está entre 0 y 1, la población tiende a cero (el origen). Cuando el parámetro α está entre 1 y 3, el número de conejos se consolida en un valor dado por la intersección no-nula de la parábola y la línea recta {\textbf{\textit X = Y}} (como en la gráfica anterior). Cuando α excede 3 y hasta un valor {\bf \alpha_\infty \approx 3.5699}, la población de conejos oscila en crecientes potencias de dos conformándose así una cadena de bifurcaciones.

Cuando α sobrepasa {\bf \alpha_\infty}:

se hallan o comportamientos repetitivos o periódicos para todo número natural que no es una potencia de dos o, más comúnmente, atrayentes infinitos polvorientos que definen el vagar en el caos.

Como se expresó, este diagrama, rotado 90 grados en contra de las manecillas del reloj, también se conoce como el árbol de Feigenbaun:

en honor a Mitchell Feigenbaum, quien descubrió y demostró propiedades universales acerca de cómo ocurre la transición del orden (abajo) al desorden (arriba).

Dado que dichos descubrimientos son relevantes para llegar a hablar acerca del infierno, aquí intento explicar lo que dicho genio y profesor de la Universidad Rockefeller halló, así el asunto sea, para algunos, un poco difícil. Al igual que en la campanita anterior, exhorto al lector a leer sin desanimarse, así esta vez el asunto tenga que ver con sitio aterrador que debería ser temible.

Feigenbaum estudió la forma exacta en que los umbrales sucesivos ocurren, de modo que la dinámica varíe en potencias de dos:

Aquí se observan varias bifurcaciones, cada vez más cortas en duración, {\Delta_n} > {\Delta_{n+1}} > {\Delta_{n+2}}, y también se ve cómo las ramas se abren cada vez menos al medirlas arriba y abajo de una línea horizontal \bar{X} que las abarca a todas, d_n > d_{n+1} > d_{n+2}.

Feigenbaum demostró que el cociente de dichas distancias, de una bifurcación a la siguiente, sigue un orden preciso, pues tales relaciones convergen a dos valores,
d_n / d_{n+1} \rightarrow {\cal F}_1 \approx -2.50 y \Delta_n / \Delta_{n+1} \rightarrow {\cal F}_2 \approx 4.66, hoy por hoy conocidas como las constantes universales de Feigenbaum.

Este apelativo es correcto pues no solamente la primera cadena de bifurcaciones en el árbol está regida por dichas constantes, sino también toda secuencia similar en potencias de dos hallada en los brotes existentes en las bandas blancas del árbol, y para infinitos períodos, tal y como sucede, por ejemplo en el brote más prominente situado en el medio de la banda blanca más ancha del período 3 (de 3.84 a 3.85):

Aunque dichos descubrimientos no implican que el caos mismo sea ordenado—como a veces se afirma erróneamente—, ellos muestran que en efecto existe un orden extraordinario en la ruta al caos por medio de bifurcaciones, pues el mismo tipo de fragmentación ocurre, de una manera asombrosa, por todas partes en la cola del diagrama, o en el follaje del árbol.

Y si esta infinita repetición no fuera suficiente para catalogar las constantes como “universales,” Feigenbaum demostró además que las mismas fracciones de bifurcación en bifurcación {\cal F}_1 y {\cal F}_2 también aparecen al emplear cualquier ecuación diferente a la logística, siempre y cuando ella cuente con un pico, lo cual está ilustrado a continuación para dos mapas sencillos que generan árboles con follajes caóticos cuando se aumenta un parámetro α desde un valor de cero hasta un valor máximo:

Como se observa, la regularidad matemática hallada es tanto inesperada como asombrosa y las constantes {\cal F}_1 y {\cal F}_2 (con expansiones infinitas no conocidas aún) resultan ser a la ruta hacia el caos mediante bifurcaciones como π es a los círculos. ¡Vaya descubrimiento magnífico el del Dr. Higuera, pues eso es lo que quiere decir Feigenbaum!

Pero hay aún más. Más allá de su poder unificador en las matemáticas del caos, estos resultados se tornaron aún más relevantes cuando las constantes universales empezaron a aparecer en una variedad de disciplinas del saber, especialmente {\cal F}_2 y en particular en el estudio físico de la convección o el calentamiento de fluidos.

De una manera consonante con lo que se observa con cuidado al hacer café colombiano en la mañana, experimentos precisos, llevados a cabo en los años setenta y ochenta del siglo pasado por Albert Libchaber (otro genio en la Universidad Rockefeller), dieron lugar a mediciones discernibles del comportamiento de un fluido cuando éste se coloca entre dos placas conductoras de modo que aumente un diferencial de temperatura entre ellas, \triangle T.

Cuando \triangle T es muy pequeño, el fluido ni lo siente y su temperatura interna se mantiene. Sin embargo, si \triangle T aumenta, llega un momento en que excede un umbral \triangle T_0 y el fluido empieza a conducir el calor, calentándose pero sin movilizarse. Cuando \triangle T sigue en aumento y sobrepasa otra temperatura crítica \triangle T_1, es decir otro umbral, el fluido ya no solo se sigue calentando sino que no tiene cómo quedarse quieto (como a veces nos sucede a nosotros mismos) y se rompe en “rollos convectivos” cilíndricos, que mueven la energía excesiva de abajo hacia arriba de una manera geométrica estable. Estos rollos, análogamente a lo que ocurre cuando se forman las tormentas diarias en las zonas tropicales, oscilan moviendo el fluido más caliente y menos denso hacia arriba y el fluido más pesado y menos caliente hacia abajo.

Cuando \triangle T sube aún más, se halla un segundo umbral dinámico \triangle T_2 en donde los rollos dejan de ser cilíndricos y más bien poseen geometrías más complejas definidas por más de dos temperaturas básicas. En la medida en que \triangle T aumenta aún más, aparecen umbrales adicionales y una diversidad de comportamientos oscilatorios que ocurren de una manera curiosamente ordenada. Eventualmente, cuando \triangle T es lo suficientemente grande, el fluido se torna turbulento y caótico, y es mejor no meter el dedo en esa olla ardiente llena de burbujas tremebundas.

Notablemente y como lo reportaron Libchaber y sus colaboradores, los umbrales de temperatura observados al calentar tanto helio líquido como mercurio en el laboratorio, bien aproximan, en sus cocientes respectivos, los números obtenidos por Feigenbaum con relación a bifurcaciones en potencias de dos, es decir {\cal F}_2. Aunque medir más de cuatro bifurcaciones es difícil por limitaciones en la precisión, estos resultados y otros calculados posteriormente para el agua, implican que existe un orden discernible en la forma en que el calentamiento lleva a un fluido desde la quietud hasta un eventual estado caótico y turbulento.

¡Oh resultado admirable el encontrado en las matemáticas y en la física por los dos genios de la Universidad Rockefeller: el calentamiento de fluidos tiene que ver con el mapa logístico cuando el parámetro α representa el calor que se le agrega al líquido! ¡Vaya sencillez inaudita en semejante complejidad endiablada!

No sé si les está pareciendo interesante el asunto o no en medio de tanto lío, pero basado en los resultados “sencillos” del calentamiento, se torna relevante estudiar, así fuere de lejitos, el comportamiento del mapa logístico cuando el calor es el más grande, es decir cuando α = 4. Como se verá, esa localización, que excede todos los infinitos umbrales en los infinitos brotes del árbol de Feigenbaum para todo comportamiento repetitivo, da lugar ciertamente a un movimiento caótico estable cuyo vagar para siempre en el polvo y sin repetición en el calor más grande representa una imagen terrorífica y a su vez real del peor de los sitios que podemos visitar para no retornar: el infierno

… Si se estudia a primera vista lo que ocurre en la cima del árbol de Feigenbaum, cuando α es igual a 4 y el pico de la parábola tiene un valor de 1:

Allí se observa una colección de líneas verticales-horizontales a partir de un valor inicial {\bf X_0}, y ellas, siempre ligadas con el primer umbral {\textbf{\textit X = Y}}, parecen visitar todos los puntos de 0 a 1. Pareciera, en efecto, que la dinámica lo abarcara todo, pero a su vez se observa que el atrayente infinito es polvoriento pues contiene “huecos” (blancos) tal y como ocurre en un pastel compuesto por capas.

Ciertamente, no todo punto en el intervalo [0, 1] viaja sin repetición para siempre. Por ejemplo, si X_0 corresponde a la intersección no-nula de la parábola con la línea recta, es decir a (\alpha - 1)/\alpha = 3/4, entonces X_1 = 3/4 y desde allí en adelante la población continúa para siempre en 3/4. Dada la simetría de la parábola, es fácil notar que el valor 1/4 tampoco pertenece al atrayente extraño, pues si {\bf X_0 = 1/4}, entonces X_1 = \alpha \cdot X_0 \cdot (1-X_0) = 4 \cdot 1/4 \cdot 3/4 = 3/4. Es decir, si se empieza el proceso exactamente en 1/4, la dinámica viaja a 3/4 y permanece allí para siempre, sin vagar sin repetición.

Resulta que 1/4 y 3/4 no son los únicos “huecos” que tiene el atrayente, pues existen dos valores en el pasado de 1/4 (obtenidos leyendo la parábola hacia atrás) que también terminan siendo atraídos por 3/4:

Si se empieza en ellos, denotados como XL y XR, de allí ambos van a 1/4 y a partir de allí a 3/4.

Pero allí no termina el asunto, pues existen también valores en el pasado de XL y XR, hallados dibujando líneas horizontales en dichos valores y leyendo la parábola hacia atrás en las dos intersecciones (como se hizo para XL y XR a partir de 1/4), los cuales, por construcción, terminan en 3/4. Como este proceso se puede llevar a cabo una y otra vez hacia el pasado, se observa que el atrayente contiene una infinidad de huecos, y así el “pastel” (negro) es, en efecto, disperso y vacío como el polvo.

Sucede que el atrayente no contiene el punto 3/4 ni sus valores relacionados y tampoco incluye otra infinidad de puntos ligados con las infinitas ramas del árbol, las cuales dejaron de atraer y más bien repelieron al cruzar un umbral:

Por ejemplo, el atrayente excluye—aunque no haya sido dibujado aquí para evitar confusiones adicionales—el comportamiento que termina repitiéndose cada tres generaciones:

donde el diagrama muestra los caminos en el pasado del valor de repetición más grande (cercano a 0.95), cuando k es el número de generaciones hasta que las oscilaciones empiezan. Para cada valor en un “ahora” (a partir de k = 0) existen dos en “el pasado” ligados a él y así el diagrama, que es fácil de construir paso a paso, se torna en un “árbol binario”.

Además de reiterar gráficamente que el atrayente contiene infinitos huecos como los hallados con relación a 3/4, esta figura curiosa muestra que los puntos que no vagan para siempre suceden por todas partes en el intervalo de cero a uno, tal y como se aprecia de una manera “densa” a la izquierda, 13 generaciones en el pasado.

El atrayente extraño y caótico, aunque contiene un número infinito de puntos que no se pueden contar, termina siendo de veras polvoriento, pues es igual al intervalo [0, 1] (también un conjunto infinito que no se puede contar) menos una infinidad de diagramas infinitos (árboles binarios infinitos que sí se pueden contar), los cuales muestran todos los valores que terminan repitiéndose exactamente para cualquier número natural. ¡Vaya jeringonza la que definen los infinitos umbrales del asombroso árbol de Feigenbaum! ¡Vaya objeto sutil el atrayente final tan diabólicamente fraccionado y entrelazado con repeticiones! ¡Quién iba a pensar que aquí se leería una descripción tan “extraña” de un polvo infinito!

Todo esto es una locura, claro está, y dichos infinitos diagramas binarios (contables) resultan estar, en efecto, arbitrariamente cerca los unos de los otros, de modo que es imposible prever qué le va a pasar a un cierto valor inicial, digamos 100 generaciones hacia atrás. ¿Será que de allí llega a 3/4, o termina oscilando cada dos generaciones, o cada tres, o acaso llega a repetirse cada 10.000 generaciones? No se sabe, pues la realidad del caos hace que los diagramas binarios luzcan idénticos en el pasado y porque un error pequeñísimo en cualquier valor inicial hace que la dinámica termine vagando, con toda probabilidad, en el atrayente infinito y no contable del caos.

El asunto es sin duda muy complejo, pero dentro de este meollo de caminos diversos y densos entre sí que viajan a destinos periódicos dispares, también existe otro árbol binario que debe ser excluido del vagar para siempre en un gran calor y tal está relacionado con la raíz del árbol de Feigenbaum, es decir, con converger al origen extendiendo la raíz recta hacia arriba, o sea hacia α = 4. Este comportamiento preciso da lugar al diagrama:

el cual es muy parecido al mostrado anteriormente para el período tres seis generaciones hacia atrás, pero éste al pasar exactamente por el medio, 1/2, cuando k = 0, viaja de allí a uno (el pico de la parábola) y luego descansa en el cero, el origen, dibujando además el símbolo invertido de una raíz cuadrada.

Después de tanto caos en esta campanita, el que exista este diagrama hacia el abandono del cero resulta ser esperanzador, pues en medio del calor más grande en la cima del árbol de Feigenbaum cuando α = 4, y solamente allí en la condición más extrema, se encuentra—aunque entrelazado con el caos y con oscilar o estar quieto de una forma tanto aburrida como dolorosa para siempre—un escape hacia la esencia, cual un extremadamente misericordioso y también dogmático purgatorio que evita el castigo eterno. ¡Vaya dinámica maravillosa y plenamente improbable, pues con toda probabilidad el caos hace su lío en la cima de esa higuera de la ciencia!

El caos es, sin lugar a dudas, un proceso engorroso y nefasto que es mejor evitar “bajándole” el calor a la vida, yéndonos obedientemente hacia la raíz recta del árbol, dejando atrás toda mentira, tal y como fue explicado en la campanita anterior. Es verdad y lo podemos ver. Arriba, en la cima del caos, hay un escape bello pero incierto, pues si  perdemos entrar por el proverbial punto medio, solo por un escaso \varepsilon = 0.0001:

la dinámica pierde llegar a la unidad, y esto da lugar a una sucesión de poblaciones cercanas a cero, pero positivas, las cuales sucumben a la extrema sensibilidad del caos y a movimientos divergentes guiados como por el azar.

Aquí se ve en acción el efecto mariposa antes citado—una reflexión de la “carencia de perdón” del proceso infernal que nos lleva a donde no queremos ir, así sea que parezca ser por “todas partes” y pasando tan cerca de casa, pero sin poder entrar en ella. ¡Qué situación tan triste, como la que le tocó vivir a un hombre “rico” que vagaba adolorido sin nunca llegar, aunque hablaba con otro fiel llamado Lázaro que sí iba a descansar! (Lc 16:19—31). ¡Cuán desafortunado es ser cizaña quemada en vez de un buen trigo resguardado en el granero! (Mt 4:24—30, 36—43). ¡Cuán real y consistente es el castigo que recibe el diablo asesino en el mismísimo infierno (Mt 25:41) y además allí comiendo polvo para siempre! (Gn 3:14).

Sin despreciar la improbable existencia del finito purgatorio—hágase aquí una oda de la palabra finito—y mucho menos a las almas que allí pagan sus culpas hasta más no deber (Mt 5:26), resulta ser en efecto mucho mejor bajarnos ya del árbol hacia la raíz, como lo hizo el pequeñín Zaqueo (Lc 19:1—10), reconociendo al precioso umbral {\textbf{\textit X = Y}}, quién más que nuestro salvador Jesús, quien satisfizo la ecuación uno-a-uno más sencilla de una forma geométrica, extendiendo sus brazos clavados en la cruz. Entiendo bien que parezca extraño—utilizando dicho calificativo con toda la intención—que el redentor del mundo pueda describirse por medio de una ecuación tan infantil, pero como se explicó en una campanita anterior, dicha línea permite entender que Él, en efecto, sea el camino, la verdad y la vida y el único camino al Padre (Jn 14:6).

Y si no lo quisieran ver allí, también podemos remitirnos a sus palabras cuando dijo que las piedras hablarían si los discípulos no (Lc 19:40), y es que, como ya se explicó, estudios recientes de la imagen del Manto Sagrado de Turín revelan que debajo de la barbilla del crucificado colocaron una piedra como ovalada (visible en su borde inferior aquí) y con inscripción de tres letras:

las cuales representan una ayuda antigua, digo yo, para explicaciones modernas que expresan que  Jesús satisfizo X igual a Y.

“Dios es muy grande”, diría mi abuelita Fanny en este momento y es que Él puede atrapar a los malvados en el polvo y hundirlos juntos allí, tal y como Él se lo dijo a Job (Jb 40:12—13), es decir en un atrayente polvoriento e infernal, y Él también puede, en su omnipotencia—no logro entender que se pueda dudar de ella—, hacer lo que indudablemente parece imposible: el sacar del polvo a sus fieles elegidos, es decir a aquellos que aceptaron que Jesús era quien era para llevarlos a casa.

¿Cómo no recordar al joven rico quien le preguntó a Jesús lo requerido para entrar al reino de los cielos, el mismo que no hizo lo que le dijeron pues tenía muchas posesiones? ¿Se acuerdan, de aquel hombre genérico y seguro de sí mismo de quien nunca supimos el nombre? Y ¿cómo no ligar este purgatorio preciso e increíblemente inverosímil—definido con probabilidad cero—a la reacción anonadada de los discípulos cuando entendieron que salvarse era imposible, a lo que Jesús respondió que para el hombre sí pero no para Dios? (Mt 19:16—30).

Para terminar esta larga campanita, aunque finita en sufrimiento, incluyo una canción que exalta el camino al cielo yendo por el purgatorio, algo que es, espero que claro esté, muchíiiiiiisimo mejor que seguir el camino al infierno por medio de bifurcaciones u otro camino al caos. Si al llegar mi día me tocara ir por la senda improbable de purificación vital, bien entendida como una clarificación o dogma de fe, sería una santa e infinita bendición.

¡Ojalá la Cuaresma que ya empieza sea muy provechosa!

EN MEDIO DEL CAOS

¡Vaya Purgatorio!

En la ciencia moderna
hay un árbol católico,
con raíz sempiterna
y un follaje caótico.

Este icono describe
la demencia del meollo,
y poderoso define
la salida del embrollo.

Oye amigo comprende
fiel aviso de la higuera:
si te crees muy valiente
vas a llorar tu ceguera.

Oye bien santo consejo
el prepararse es prudente:
es vital andar despierto
para burlar a la muerte.

Shanti Setú…

Y entiende que…

En medio del caos
hay una salida
que lleva a la vida.

En medio del caos
se halla una guarida
que sana la herida.

En lo alto de la higuera
hay un caminito
que va al infinito.

En lo alto de la higuera
se halla un puntito
que lo une todito.

En medio del caos
hay una rayuela
que brincas sin pena.

En medio del caos
se halla el Omega
que nutre y libera.

En lo alto de la higuera
hay un pozo fino
que riega el destino.

En lo alto de la higuera
se halla el amigo
que da lo divino.

Puente de paz…

En medio del caos
búscalo y verás,
en medio del caos
todita verdad,
en medio del caos
una puerta abierta,
en medio del caos
que lleva a la esencia,
en medio del caos
con todo equilibrio,
en medio del caos
se evita el peligro,
en medio del caos
caminando recto,
en medio del caos
se halla lo cierto.

En lo alto de la higuera
ve que no invento,
en lo alto de la higuera
un oasis muy bello,
en lo alto de la higuera
hay un trigo bueno,
en lo alto de la higuera
rodeado de maleza,
en lo alto de la higuera
hay un ojo de aguja,
en lo alto de la higuera
que pasas y cura,
en lo alto de la higuera
te bajas, sonríes,
en lo alto de la higuera
y llegas al origen.

En medio del caos
con la santa gloria,
en lo alto de la higuera
hallas la victoria,
en medio del caos
escrito en tu pecho,
en lo alto de la higuera
encuentras tu sueño,
en medio del caos
rodeado de la muerte,
en lo alto de la higuera
descubres gran suerte,
en medio del caos
con el alma clara,
en lo alto de la higuera
no te pasa nada.

Shanti Setú…

En medio del caos,
en lo alto de la higuera. (4)

Ve que no miento:
no lo dudes…

Ay bájate… (8)

(Junio 2000)

Un fragmento a capela se puede escuchar aquí…

Publicado en Campanitas

Hablemos de caos

Tristemente, la palabra caos es empleada cada vez más para describir lo que sucede en estos tiempos modernos. Por donde se mire en nuestro frágil planeta, el desorden implícito y el azar inherente que coloquialmente llamamos “caos” aparece con mayor frecuencia en diversos ámbitos de la vida: hay caos en las fronteras o se dice que lo hay; hay caos en la política y lo induce la arraigada corrupción; hay caos en la economía reflejado por desigualdades cada vez mayores; hay caos de muerte de inocentes desollados por todos lados y más. Lamentablemente, el tal caos es tan generalizado que ya casi ni nos inmutamos ante su presencia y sólo de vez en cuando nos parece doloroso y repugnante, como cuando irrumpe un notorio escándalo inmoral que no debería ser.

Existe una rama del saber moderno que estudia lo complejo y que puede emplearse para comprender la esencia del caos y la forma en que podemos combatirlo. Esta incluye la famosa teoría del caos, la cual es más que una teoría tradicional, pues sus resultados son plenamente comprobables. Sabiendo que ésta acaso va a ser la campanita más difícil hasta la fecha, a continuación intentaré explicar la ciencia del caos y sus fascinantes implicaciones.

Como se verá en ésta y las dos siguientes entradas al blog, vale la pena estudiar este tópico con cierto detenimiento pues da lugar a enseñanzas certeras y relevantes, tanto para la vida cotidiana como para la vida eterna. En todo caso, y reconociendo que el asunto no es trivial, confío que la descripción general del tema, y sus canciones al final, permitirán comprender la esencia del meollo.

La fórmula empleada—¡no se desanime y siga leyendo!—para introducir el concepto del caos es el llamado mapa logístico:

en donde X es el tamaño de una población (normalizada entre 0 y 1), digamos de “conejos”, k y k+1 son generaciones sucesivas, y α es un parámetro entre 0 y 4.

La ecuación, cuadrática al expandir su lado derecho, describe lo que ocurre de una generación a la siguiente y define una parábola simétrica:

Cuando {\bf X_k = 0}, {\bf X_{k+1} =  0}, claro, pues no se producen conejos de la nada y cuando {\bf X_k = 1/2}, {\bf X_{k+1} = \alpha/4} y este es el pico de la parábola.

La gráfica mostrada, para un valor de α igual a 2.8, exhibe la evolución de los conejos empezando el proceso con un tamaño pequeño de ellos {\bf X_0}. Como puede comprenderse, siguiendo sucesivamente las líneas verticales-horizontales mostradas hasta la recta {\textbf{\textit X = Y}} a 45 grados, el tamaño de la población, simplemente leyendo la parábola sucesivamente, crece primero a \bf{X_1}, luego a {\bf X_2}, y después termina convergiendo, pintando un espiral que sigue las manecillas del reloj, al valor {\bf X_\infty} mostrado, que, como se ve, corresponde a la intersección no-nula de la parábola con la línea recta.

La parábola bien expresa una organización logística de la población, pues describe, de una manera lógica, una tendencia creciente o “al alza” cuando hay pocos conejos y una decreciente o “a la baja” si existen muchos. Cuando el número de conejos es el máximo posible ({\bf X_k = 1}), la dinámica da lugar a una “parábola” punzante—a una lección sutil usando la otra acepción no geométrica de la palabra—, pues predice la extinción de los conejos en la siguiente generación ({\bf X_{k+1} = 0}), cuando ellos se pelean “a muerte” por recursos escasos e insuficientes.

Sucede que el destino final de una población, {\bf X_\infty}, depende de una manera dramática del valor del parámetro α en la fórmula logística.

Cuando la parábola se sitúa debajo de la línea uno-a-uno (α ≤ 1):

las líneas verticales-horizontales obtenidas a partir de un {\bf X_0} inicial muestran cómo la población disminuye hasta esfumarse, {\bf X_\infty = 0}. Para estos casos existe una convergencia, o atracción hacia el origen—el cero, cero—y esto es así independientemente de dónde empiece el proceso.

Cuando α > 1, la parábola cruza el umbral {\textbf{\textit X = Y}}, la población ya no converge a cero, sino que más bien diverge de él, dando lugar a que el origen no atraiga sino que repela:

Como se observa, la pendiente de la parábola en el origen excede la del umbral—es decir es mayor que uno—y, así, por razones eminentemente geométricas, un valor pequeño {\bf X_0} da lugar a valores que ya no viajan hacia el origen como cuando la parábola era pequeña sino que se alejan del cero para nunca retornar. Cuando 1 < α ≤ 3, la dinámica en efecto converge a la intersección no-nula entre la parábola y la línea recta, la cual, igualando las fórmulas, es {\bf X_\infty = (\alpha - 1)/\alpha}.

Cuando α aumenta más allá de 3, a la intersección no-nula le ocurre lo mismo que le pasó a {\bf X_\infty = 0} cuando se cruzó el umbral α = 1, o cuando la parábola cruzó la línea recta. La dinámica, en vez de converger a dicho punto, ahora repele y para α = 3.2 termina dibujando, de una forma sorprendente, un cuadrado que expresa que el número de conejos oscila y termina repitiéndose cada dos generaciones:

Este comportamiento repetitivo, también llamado periódico, ocurre nuevamente por razones puramente geométricas, pues la curvatura precisa de la parábola allí equipara los dos valores mostrados con la línea {\textbf{\textit X = Y}}. Sin embargo, y como sucedió antes, tal comportamiento repele cuando α se aumenta más allá de otro umbral, pues, por ejemplo, cuando α = 3.46, y de una forma asombrosa cual guiada por una nueva geometría, aparecen ahora oscilaciones cada cuatro generaciones:

Esto sucede como por acto de magia: empezando el proceso en un {\bf X_0} cercano al origen da lugar a líneas verticales-horizontales que viajan rápidamente hacia la intersección no-nula de la línea y la parábola, pero dicho punto repele y las líneas se van hacia el cuadrado del ejemplo anterior, pero éste también repele generando el patrón dado por las ocho líneas oscuras que indican que todo se repite cada cuatro generaciones. ¡Vaya brincos ingeniosos los de estos conejos!

Al aumentar α hasta un valor {\bf \alpha_\infty \approx 3.5699}, se establece una cadena de bifurcaciones, o sea cambios de dos en dos, que termina abarcando todas las potencias de dos. Notablemente y como fue difícil preverlo analíticamente antes del advenimiento de las computadoras, la parábola logística define una infinidad de umbrales en los que la dinámica cambia de conducta, pues pasa de ser convergente a ser divergente, o de atraer a repeler, y todo esto sucede a partir de una ecuación sencilla y solo aumentando su parámetro α.

Pero hay más, pues aún no hemos llegado al máximo valor de α que es 4, pues el pico es {\bf \alpha/4}. A partir de {\bf \alpha_\infty}, la parábola continúa forjando sutilmente su curvatura y esto da lugar a otros resultados insospechados y sorprendentes.

Por ejemplo, a veces el número de conejos se repite periódicamente, mas no en potencias de dos, como ocurre para valores de α de 3.74 y 3.83 cada cinco y tres generaciones:

y otras veces, y más comúnmente, la población da lugar a dinámicas que no exhiben comportamientos repetitivos, sino que más bien esbozan variaciones infinitas, como sucede para valores de α iguales a 3.6 y 4:

De una manera admirable, cuando α > {\bf \alpha_\infty} existen valores del parámetro para los cuales los conejos terminan repitiéndose exactamente cada n generaciones, para cualquier número natural que no es una potencia de 2. Y entrelazado con esta gama infinita de periodicidades, hay valores de α para los cuales el tamaño de la población nunca se repite, sino que más bien vaga para siempre en una danza sin fin en un conjunto conocido como un atrayente extraño. Esta sutil nomenclatura refleja el que sea “insólito” encontrar una población que sea variable para siempre, pero dicha notación resulta no ser del todo correcta, pues después de {\bf \alpha_\infty} dichos conjuntos “extraños” son los más comunes.

Los atrayentes infinitos, por su cambio infalible, definen el concepto científico del caos: un peregrinar perspicaz sin repetición que no depende del azar sino más bien de la forma geométrica particular de la parábola. Dicha notación también resulta ser coherente, pues cuando se posa su desorden, dos poblaciones arbitrariamente cercanas la una de la otra, al propagarse, divergen entre sí rápidamente. Este es el célebre efecto mariposa, el hecho que un pequeño error—tan minúsculo como el aleteo de una mariposa—impide que podamos conocer la evolución exacta de una población caótica, pues la única manera de lograrlo requeriría calcular con infinita precisión.

Como puede observarse para el valor de α igual a 3.6 arriba y también para α igual a 4, la dinámica caótica, aunque infinita, no abarca todos los posibles valores en un intervalo (ni dos), sino que contiene agujeros, cual un pastel con muchas capas, por dónde el atrayente no pasa. Esta estructura “hueca” sucede para cualquier atrayente extraño y entonces la fragmentación inherente del proceso, más allá de las infinitas bifurcaciones, puede calificarse diciendo que el caos sucede sobre un conjunto carente de cohesión (con puntos que no se tocan) bien denominado polvo, cual encontrado también en una campanita anterior.

La gráfica que muestra lo que el mapa logístico produce, es decir {\bf X_\infty}, en función de  α:

se conoce como el diagrama de las bifurcaciones, o rotado noventa grados en contra de las manecillas del reloj, como el árbol de Feigenbaum, en honor al físico Mitchell Feigenbaum, quien mostró que existe un orden preciso en la transición del orden hacia el caos, es decir en la forma en que ocurren las bifurcaciones de izquierda a derecha.

Como se observa, el árbol tiene una raíz recta que corresponde a la extinción de los conejos, {\bf X_\infty = 0}, y contiene para α de 1 a 3 una rama “tierna” la cual representa las convergencias de la población a un solo valor en la intersección no-nula de la recta {\textbf{\textit X = Y}} y la parábola. Desde el valor de 3 hacia adelante, surge la secuencia de bifurcaciones y ella hace crecer ramas cada vez más pequeñas, que abarcan todas las potencias de dos en {\bf \alpha_\infty \approx 3.5699}.

Como puede apreciarse mucho mejor en la cola magnificada del diagrama:

el árbol contiene muchas ramas periódicas adicionales y entrelazadas con ellas, múltiples atrayentes extraños caóticos, cuyos valores infinitos—dibujados verticalmente hasta donde lo permite la resolución del dibujo—representan el follaje polvoriento del árbol.

Como se observa, la cola del diagrama contiene bandas blancas verticales que corresponden a todos los períodos que no son bifurcaciones y las más prominentes son, de izquierda a derecha, las relacionadas con repeticiones cada seis, cada cinco y cada tres generaciones. Como puede apreciarse, acaso forzando un poco la vista, dentro de dichas franjas se hallan protuberancias, como en la banda más ancha del período 3 que contiene tres brotes” visibles.

Ampliando el brote del medio aparece algo admirable:

pues se encuentra una copia reducida del mismo árbol, aunque sin la raíz, la cual, como se ve, retoña a su vez en comportamientos caóticos y periódicos, los primeros definidos por puntos separados conformando muchos polvos y los últimos reflejados en más bandas blancas y más brotes.

De una forma notable y acaso increíble si no se ve para creerlo, en cada una de las infinitas bandas blancas correspondientes a repeticiones periódicas en la cola del diagrama, existen en efecto, universalmente, brotes, copias reducidas, ad infinítum, de las ramas y hojas (polvo) del árbol.

Aunque existen otros caminos posibles que dan lugar a conjuntos infinitos sin repetición, es decir a atrayentes extraños, el árbol de Feigenbaum—la higuera en alemán—provee la ruta más espectacular hacia el desorden y es el ícono más famoso de la teoría del caos. ¡Vaya historia inverosímil la de los inocentes conejitos cuyas poblaciones se comportan de una forma insospechada! ¡Quién lo iba a creer que su dinámica abarcaría repetirse de acuerdo a todos los números naturales!

Aunque esto ya sea considerado “clásico” y hasta trivial en ciertos círculos al haber sido descubierto en los años setenta del siglo pasado, yo no dejo de admirarme ante el espléndido espectáculo infinito en la higuera caótica. El desmembramiento del objeto es, sin duda, impresionante y como se torna polvoriento traspasando y traspasando umbrales, su dinámica parece estar guiada por una cruz mentirosa y divisiva y por ende, extraviada …

… Si ponderamos los resultados ciertamente admirables de la teoría del caos, su fraccionamiento vibrante insinúa que es razonable el emplear dichas nociones—la ecuación logística y su parábola, las bifurcaciones, la higuera caótica, las repeticiones generales y el polvo—para modelar cómo nosotros, cuando no somos cuidadosos, terminamos a menudo en la angustiosa confusión del caos. Pues aún si los cerebros saludables exhiben más rasgos caóticos que repetitivos, el parámetro α termina siendo un buen indicador de la forma en que vivimos, ya que refleja nuestra paz interna o la carencia de ella y también nuestra propensión a vivir en armonía o nuestra inclinación a crear conflicto.

Con debida imaginación, claro está, y comprendiendo que el asunto tiene que ver con nosotros y no con los bellos conejitos, podemos ver que las ideas representan un marco de referencia adecuado para contemplar nuestros comportamientos, pues de una manera precisa—aun si ocurre en sentido figurado como si fuera solamente una parábola o lección—, todos experimentamos en nuestras vidas diversos estados que están bien reflejados en diferentes localizaciones del árbol de Feigenbaum, como sigue:

De izquierda a derecha, ya sea un estado manso o humilde definido por el proverbio de no “cruzar la línea”; otro orgulloso u obstinado que refleja la ausencia de paz en nuestras acciones “fijas” más no basadas en el abandono total a la verdad sino más bien en nuestro entender y egoísmo; un estado confuso o indeciso que proviene de las dudas repetidas en nuestros intentos; o un estado de gran desazón o angustia, muchas veces acompañado por la violencia caótica del desorden, donde, al cruzar muchísimos umbrales, nuestros excesivos problemas nos condenan a vagar “mordiendo el polvo”.

En este espíritu, se pueden emplear los diferentes estados en el árbol de Feigenbaum para visualizar nuestros dilemas esenciales en escoger, nunca a la fuerza y siempre gozando del libre albedrío, ya sea un camino hacia la paz verdadera u otro carente de unidad. Esto resulta ser así pues el mapa logístico puede usarse—de tiempo en tiempo—para representar, en el producto de X y su complemento (1 – X), los estreses siempre presentes y las tensiones que todos experimentamos y también para describir de una manera clarividente lo que sucede cuando escogemos minimizar dichos efectos, esto es, cuando seleccionamos valores de α menores o iguales que uno, en vez de lo contrario.

Tal y como se expresó en una campanita anterior relacionada con la también divisiva turbulencia, en la carta logística del árbol de Feigenbaum podemos visualizar nuestras opciones fundamentales hacia el orden o hacia el desorden, como lo recuerdan, por ejemplo, nuestras “pendientes en el origen” ya sea “llanas” o “empinadas”, nuestras escogencias de lo simple o lo complejo permaneciendo debajo de la línea uno-a-uno o no, y nuestros estados atrayentes de serenidad y paz o de caos y turbulencia.

El escoger el caos o no, es ciertamente relevante, pues la discusión reitera que existe una y sólo una manera en que podemos lograr la paz verdadera, y esto corresponde a converger al origen, permaneciendo en la raíz recta del árbol en donde no existe división alguna. Pues, aunque suele ser trágico para algunos el perder sus conejos, es aún más triste el subir el árbol de Feigenbaum, es decir, el subirse a la higuera, pues ello nos aleja de la esencia pacífica y más bien nos lleva a estados llenos de fragmentación y desasosiego, como sucede eminentemente en los estados caóticos, en los que el vagar para siempre sin lograr retornar a casa (al origen)—¿se les parece algo?—representa una condición verdaderamente deplorable que uno no desea para nadie.

Como la naturaleza implacable del caos y su sutil efecto mariposa se infiltra en nuestras vidas cuando subimos el árbol, las ideas nos recuerdan que, en efecto, debemos escoger entre decrecer y aumentar, esto es, entre decidir ser humildes en nuestras acciones o no, como se refleja en atenuar ({\bf \alpha \le 1}) o magnificar ({\bf \alpha > 1}) nuestras respuestas a los problemas que tenemos. Como estas nociones apuntan hacia la simbólica raíz y al mismo Origen al que se llega por la hipotenusa, ahora una clara puerta estrecha para quien “para bolas” escogiendo una parábola debajo de la línea, dicha condición está asociada con hacer lo que Dios manda, lo cual sólo puede lograrse debajo de {\textbf{\textit X = Y}}, y no arriba tentados por el último punto de la rama tierna del árbol cuando α es igual a 3, es decir {\bf X_\infty = 2/3 = 0.666\ldots}, en donde se refleja de una manera vívida nuestro verdadero enemigo común, el mismo diablo reflejado en los remolinos de la turbulencia.

Esta reflexión expone nuestras opciones de caos o no caos y nos convoca a una condición de fiel abandono o conversión, esto es, al cero de la santidad y la obediencia:

bajándonos del árbol, en vez del egoísmo y la rebeldía, las cuales conllevan bendiciones y vida o maldiciones y muerte, cual reflejado de una manera Bíblica en el concepto del polvo.

En verdad es tristísima la dinámica caótica, pues viajar para siempre en el polvo representa un destierro pavoroso y definitivo del origen, cual el horrendo infierno antiguo y real del que hablaremos un poco más en la siguiente campanita.

Para terminar, a continuación, incluyo una canción que llegó como respuesta para un buen amigo y también mi profesor quien alguna vez me dijo que no entendía de caos. Curiosamente, esta composición llegó en un aeropuerto, en medio de la espera “caótica” que se formó por el ulterior aplazamiento de un vuelo ya atrasado.

CAOS NUNCA MÁS

Inspirada por Los Novo de Cuba…

No me digas no
que no lo entiendes
ay no que no,
no me digas no
el caos abate
siempre al amor;
no me digas no
que no lo entiendes
ay no que no,
no me digas no
el caos pierde
con el amor.

Todo comienza así
con atracción sutil,
un fruto ajeno ves
parece toda miel,
el ego dice ay sí
traspasas tu nivel,
muerdes el polvo y ya
es caos en cantidad.

Es tan común ay sí
el diablo y su matiz,
destruye la amistad
negando la raíz,
el ego dice ¿y qué?
valiente y sin poder,
te alejas con afán
es caos de ansiedad.

Es triste siempre sí
dinámica fatal
un error pequeñito
crece presto sin azar,
el ego dice ay no
yo lo puedo si Él,
te haces el tonto y ya
es caos de verdad.

El pago justo ay sí
destierro colosal,
logística confirma
en origen la humildad,
el ego fiel al fin
aprende de verdad,
aceptas buen ardor
y el caos ya se va.

Todo termina así
con actitud gentil,
el verbo te arrebata
no te deja ya mentir,
el ego bello en paz
proyecta su hermandad,
caminas de su mano
no hay caos nunca más.

No me digas no
que no lo entiendes
ay no que no,
no me digas no
el caos abate
siempre al amor;
no me digas no
que no lo entiendes
ay no que no,
no me digas no
el caos pierde
con el amor.

(Mayo 2007/Enero 2019)

Un fragmento a capela se puede escuchar aquí…

Publicado en Campanitas

¡El mejor año nuevo!

Cuando aún celebramos la Octava de Navidad, o la infinita si se rota el 8 como se explicó con relación a la Pascua, escribo para desearles un venturoso 2019. Y es que, si me lo permiten para repasar la maravilla, los números arriba son coherentes con que el nombre por encima de todo nombre, o sea Jesús, escrito en griego Iησουσ, Iota eta sigma ómicron ípsilon sigma sume 10 + 8 + 200 + 70 + 400 + 200 = 888 o tres infinitos, lo cual a mí me inspira un baile, y ojalá a ustedes, como uno inesperado de cuatro damas dentro de la campana de Gauss …

… Como lo expresa el libro del Génesis, Dios decretó enemistad entre el linaje de la serpiente y la descendencia de una mujer que además pisotearía la cabeza del maligno garantizando así que el mal no prevalecería (Gn 3:15). Ella, claro debe estar, es María, nuestra Madre, pero sólo si aceptamos a su hijo como fuente de salvación, lo cual es coherente con los números arriba pues Él representa la octava alianza, la cual provee la vida infinita o eterna y también el principio y el fin —sin fin— en el famoso alfa y Omega que corresponde a los números 1 y 800.

En esta ocasión , y para alabar a los que verdaderamente importan incluida Ella en el primer día del año, me valí de una canción conocida, mas no de la época de mis padres como en la campanita anterior, sino más bien una de los tiempos alegres de mis abuelos, una llamada “Oye el cha chá” del extraordinario Trío Matamoros de Cuba. Ojalá el nuevo coro se pegue para animar a lo divino y así el año que comienza sea el mejor año nuevo.

OYE A MAMÁ

A María, madre de Dios, quien nos cuida…

Pocos, oye, lo viven ya,
muchos vagan sumando ají,
y yo proclamo al bendito
pa’ que al cielo quieran ir.

Unos, mira, gozan el más,
otros niegan ay por aquí,
y yo enseño el infinito
deseando ayudar a unir.

Un salmo brota de mí, a Mamá
(a Mamá, a Mamá, a Mamá)
un canto del corazón pa’ alabar:

¡Cuán grandioso es el Señor!,
¡infinito es su Papá!,
¡compasivo es el Señor!,
¡amorosa su Mamá!

Y si el cielo regala más
pa’ que venga Shanti Setú,
y el símbolo es preciso:
iremos sembrando luz.

Y si el santo dota menú
y aparece Puente de Paz,
y el número es perfecto:
el sueño ay será veraz.

Y mi alma sale de mí, a Mamá
(a Mamá, a Mamá, a Mamá)
cual hijo, con decisión, pa’ avisar:

¡Cuán grandioso es el Señor!,
¡infinito es su Papá!,
¡compasivo es el Señor!,
¡amorosa su Mamá!

Oye a Mamá para entrar,
oye a Mamá para durar.

Oye a Mamá para brillar,
oye a Mamá para contar.

Oye a Mamá para sanar,
oye a Mamá para gozar.

Oye a Mamá para llegar,
oye a Mamá para ganar.

(Diciembre 2015)

PD. Un lector de campanitas sabe que Shanti Setú es un sueño de canción y acaso pueda adivinar que el símbolo preciso citado es el de la raíz y el número perfecto la √2, cual aparecen en las campanitas Jesús, el equilibrio y Jesús, la hipotenusa ligadas con el primogénito de María.

La canción a capela se puede escuchar aquí…

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¡Navidad real!

Hace como veinte años, o sea hace como una “nada” cual expresado por Carlos Gardel en su famoso tango “Volver”, me valí de la certera nostalgia de la canción que mi papá le dedicaba a mi mamá para componer una melodía que me animara en estos tiempos navideños lejos de la patria, tiempos siempre algo fríos y comúnmente melancólicos.

La canción “Bajo un Palmar“, recordada por un beso posible y al final victorioso, fue escrita por Don Pedro Flores y puede escucharse interpretada por el legendario Trío Los Panchos aquí. Si la oyen y luego la siguen superponiendo mi versión debajo, notarán cómo la más nueva llegó a ser, en efecto, una buena compañera para mí, pues se convirtió en un fiel himno de fe, el cual, en un día como hoy, ojalá les sea útil para darle gracias a Dios por el regalo maravilloso de Nuestro Salvador.

¡NAVIDAD REAL!

Empeñado en el amor
quise hacer un verso hoy
y de un recuerdo me valí,
le di todita mi atención
y la emprendí creyendo, ay sí,
calaron los sonidos reverendos
y esto es, por Dios, lo que zurcí.

Había un sueño,
improbable y muy bonito
regalando su voz,
era que venía
oh infante poderoso
con toda sanación.

Era que su día llegaba
dotando un jubileo
con su canto seguro y peculiar,
era él un verso nuevo
y en corazón ardía
ay dulce como un beso angelical.

Era que todo era cierto
y el cielo no era invento
pues se podía alcanzar.

Sueño mayor
premio real,
sueño mayor
premio real …

(Noviembre 2008)

… Hoy día, años después, y sabiendo de sueños concedidos en la perseverancia de esa misma fe real, deseo sumarme a la celebración de la Navidad recordando a su vez el anhelo que muchos tenemos, uno que mi papá tuvo y que yo tengo, el de ya ganarnos el “Sorteo Extraordinario de Navidad”.

De mi parte, además de cantarle al Señor un canto nuevo, repartiré lo recibido, pues sé muy bien que Él, el mismísimo Niño Jesús, es el ansiado premio mayor que entra en nuestros corazones si lo permitimos. Ojalá la canción a continuación sea propicia para festejar el mejor nacimiento, aún si no suena cual villancico tierno.

¡Que el Señor nazca de nuevo y para siempre en cada uno de nosotros y así reine su paz!

EL PREMIO MAYOR

¡Quién más que Jesús!

¡Feliz navidad!

¡La lotería del cielo!

Ya llegó, arribó toda bendición,
se vino un día de fe y amor;
ya llegó, arribó gran liberación,
oh que alegría el premio mayor.

Ya llegó, arribó toda bendición,
se vino un día de fe y amor;
ya llegó, arribó gran liberación,
oh que alegría el premio mayor.

Por arcángel enviado
María acató la voz,
por espíritu sagrado, oye,
mi madre engendró la voz,
así fue como fue el día
con todita fantasía,
por eso el niño Jesús
ay viene dotando luz.

Ya llegó, arribó toda bendición,
se vino un día de fe y amor;
ya llegó, arribó gran liberación,
oh que alegría el premio mayor.

Por pesebre relegado
no pocos negaron voz,
por misterio renovado, oye,
algunos sienten su voz,
es que el santo da su guía
con infinita poesía,
y siempre el niño Jesús
es fuente de fina luz.

Ya llegó, arribó toda bendición,
se vino un día de fe y amor;
ya llegó, arribó gran liberación,
oh que alegría el premio mayor.

Vamos a alabar…

Ya llegó, arribó toda bendición,
en la pobreza mira allí nació el amor,
ya llegó, arribó gran liberación,
cubrió el espíritu y el santo nació,
ya llegó, arribó toda bendición,
ay no lo dudes, así gana el amor,
ya llegó, arribó gran liberación,
Dios todo lo puede, es milagro su don.

Puente de paz…

Ya llegó, arribó toda bendición,
la promesa divina ay ya se cumplió,
ya llegó, arribó gran liberación,
y un pastorcito mira bien lo vio,
ya llegó, arribó toda bendición,
Dios dota receta pa’ la salvación,
ya llegó, arribó gran liberación,
oh regocijo insondable el premio mayor.

A Belén nos vamos…

El premio mayor
habita en tu interior,
el premio mayor
ahí mismo por amor,
el premio mayor
enciende el corazón,
el premio mayor
ordena tu razón.

Oye bien…

El premio mayor
sustenta tu intención,
el premio mayor
inspira toa canción,
el premio mayor
ese por ti murió,
el premio mayor
ay vuelve créelo.

Gana el amor…

El premio mayor
con las manos pa’rriba,
el premio mayor
mira que no es mentira,
el premio mayor
él sana ya tu herida,
el premio mayor
oh verso sin espinas.

¡Feliz navidad!

Ya llegó, arribó toda bendición,
se vino un día de fe y amor;
ya llegó, arribó gran liberación,
oh que alegría el premio mayor.

Ya llegó, arribó toda bendición,
se vino un día de fe y amor;
ya llegó, arribó gran liberación,
oh que alegría el premio mayor.

Oh oh oh, el premio mayor
acoge hoy, ay escúchale,
oh oh oh, el premio mayor
vuelve, ay prepárate,
oh oh oh, el premio mayor
acoge hoy, ay escúchale,
oh oh oh, el premio mayor
vuelve, ay prepárate…

(Mayo 2007/Octubre 2013)

Un fragmento a capela se puede escuchar aquí…

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El cero con más

En las últimas semanas hemos recordado eventos sobresalientes, sin lugar a dudas hechos indelebles del poder inigualable de Nuestro Dios Trino. Primero, y con el debido gozo de una sorpresa anunciada, conmemoramos la gran fiesta del Espíritu Santo en Pentecostés, luego, mediante tres numeritos relacionados, festejamos la misteriosa unidad de la Santísima Trinidad y después, hace pocos días, celebramos el vital regalo del Cuerpo y la Sangre de Cristo, en la Solemnidad de Corpus Christi.

Ahora, para continuar con los homenajes primordiales, llegan la Solemnidad del Sagrado Corazón de Jesús y el Memorial del Inmaculado Corazón de la Santísima Virgen María, Madre nuestra, todo esto recordándonos quién es quien manda, tal y como fue explicado exponencialmente a partir del pasaje de La Vid y los Sarmientos (Jn 15:1–10) traducido en la ecuación unitiva:

(1 + 1/x)x.

Estas alusiones a la omnipotencia divina, comprimidas en tan solo tres semanas y ciertamente evocadas por las tres cruces arriba, deberían ser mucho más importantes que cualquier otro acontecimiento en nuestros días. Empero, el mundo moderno persiste en su ritmo endemoniado y éste da lugar, en no pocos y hasta en sitios donde no debería suceder, a una sordera triste, a un centrarse en intentar arreglarlo todo sin Él, lo cual solo lleva, como Él lo afirma, a lo ilusorio y a lo perecedero …

… Esta breve campanita, la cual completa una feliz primera temporada de escritos y canciones, intenta sumarse a las tres últimas efemérides mencionadas arriba para repetir, con debida alegría y fe, que Dios está en control de todo, que Él sabe bien quiénes somos y que Él ya hará lo que dijo que haría.

Agradeciendo a quienes han expresado su apoyo por medio de amables mensajes que han dotado bella compañía durante los meses de esta aventura (incluidas de una forma especial mis fieles editoras), aquí surge una canción—con un ritmo popular seguramente inesperado para un tema tan religioso—que intenta reflejar, en un cero y un más, dos eventos teológicos relacionados y visiblemente significativos.

El primero, el que se celebre cotidianamente, en la Santa Misa, un milagro que dota Vida Eterna (Jn 6:56), cuando el pan y el vino, al son de una campanita (¡de fe, claro está!), son transformados, por el Espíritu Santo (abarcando el calorcito sentido por el Padrino de este blog) en el Cuerpo y la Sangre de Cristo, con la hostia redonda en la forma de un cero y típicamente acuñada por una cruz en su centro, o sea con un más. Y el segundo, el que la Virgen María, Inmaculada y Santa y así simbolizada por un número cero, haya albergado libremente dentro de sí a Jesús, claramente representado por el signo más de su cruz sagrada.

Ojalá la composición llegue a sonar muy bien algún día y que así ayude a que no olvidemos lo verdaderamente fantástico y digno de toda nuestra alabanza.

¡Fantástico!

Con toda gratitud…

Para Jesús Sacramentado y su Sagrado Corazón
y para el Inmaculado Corazón de María…

El cero con más,
fantástico,
verdad colosal,
el cero con más,
fantástico,
regalo esencial.

El cero con más
es chiquitito
hostia singular,
es tú ves, ay Dios,
un bocadito
para soñar.

El cero con más
es infinito
cuerpo estelar,
es tú ves, ay Dios,
el favorito
enviado a sanar.

El cero con más,
fantástico,
verdad colosal,
el cero con más,
fantástico,
regalo esencial.

El cero con más
es un sorbito
cáliz vital,
es tú ves, ay Dios,
un don gratuito
para soñar.

El cero con más
es el bendito
sangre cabal,
es tú ves, ay Dios,
el rey prescrito
enviado a sanar.

El cero con más,
fantástico,
verdad colosal,
el cero con más,
fantástico,
regalo esencial.

El cero con más
un pedacito
milagro real,
es tú ves, ay Dios,
el caminito
para soñar.

El cero con más
es expedito
amigo genial,
es tú ves, ay Dios,
el exquisito
enviado a sanar.

El cero con más,
fantástico,
verdad colosal,
el cero con más,
fantástico,
regalo esencial.

Shanti Setú

María y Jesús,
fantástico,
así es como es,
el cero con más
sana tu ser.

El espíritu trastoca
pan y vino en el fiel,
y el amén es abreboca
que declara todo bien.

María y Jesús,
fantástico,
así es como es,
el cero con más
sana tu ser.

Una graciosa campana
acompaña con vaivén,
y la sustancia mundana
es ahora el hombre aquel.

María y Jesús,
fantástico,
así es como es,
el cero con más
sana tu ser.

Para todos Él alcanza
infinito es su poder,
generosa es la alianza
que derrota a lucifer.

María y Jesús,
fantástico,
así es como es,
el cero con más
sana tu ser.

Puente de paz

Allí está gran realidad
Él está,
su cruz potente regala
allí está,
allí está gran realidad
Él está,
el justo todo lo sana
y allí está.

Allí está gran realidad
Él está,
su cruz potente regala
allí está,
allí está gran realidad
Él está,
el justo todo lo sana
y allí está.

(Octubre 2009/Junio 2018)

Un fragmento a capela se puede escuchar aquí…

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Tres numeritos…

Nuestro Señor Jesucristo, antes de subir al cielo, comisionó a sus discípulos diciéndoles: “Id, pues, y haced discípulos a todas las gentes, bautizándolas en el nombre del Padre y del Hijo y del Espíritu Santo” (Mt 28:19). Esta campanita intenta sumarse al tributo celebrado hoy a la Santísima Trinidad, algo que siempre será, dada la extraordinaria grandeza del Dios trino, irremediablemente incompleto.

En una campanita anterior, interpretándose de una manera simbólica-matemática las palabras de Jesús en su discurso de la vid y los sarmientos (Jn 15:1–10), apareció una curiosa ecuación que expresa quién es Él, quienes somos nosotros y cuál es el poder que tenemos con Él al permanecer con Él y cumplir sus mandatos:

(1 + 1/x)x.

Aquí el número 1 es Jesús mismo y 1/x somos nosotros tomando su cruz, y cuando ella tiende a infinito, en plena verdad sin mentiras, la expresión tiende al número exponencial e ligado con el Espíritu Santo, que nos permite satisfacer por medio de la función exponencial, ex, el cálculo del amor, o sea la integración con todos y sin diferencia alguna. Ciertamente, y en el proceso de la poda esencial, nosotros, 1/x, también tendemos a cero, y así satisfacemos el llegar a ser perfectos o santos, tal y como Dios Padre lo es, como Jesús nos insta a hacerlo (Mt 5:48).

En estas reflexiones aparecen “tres numeritos”, cual enfatizado en negrilla en el párrafo anterior, el cero, el uno y el infinito, que se pueden relacionar simbólicamente con los miembros de la Santísima Trinidad: el cero con Dios Padre, por su santidad y además por la expresión geométrica de la intersección de los ejes cartesianos denotando el Origen; el uno con Dios Hijo, al ser Él la vid verdadera y único camino al Padre; y el infinito con el Espíritu Santo, por permitir que podamos satisfacer el amor viajando sin egoísmo como la letra e, hacia afuera, para llegar a la ansiada vida eterna y alabando a Dios con las manos extendidas …

… A continuación se elabora, por medio de una canción llamada Conga hasta el infinito, un poco acerca de la relación entre los tres numeritos, los cuales a su vez están presentes en los tres miembros de la indivisible Trinidad, pues Jesús es también cero e infinito, al ser santo y Dios; Dios Padre es asimismo uno e infinito; y el Espíritu Santo es además cero y uno, al no contener egoísmo alguno y lograr la unidad del amor. La composición se basa en seis ecuaciones que acaso permiten apreciar, ojalá un poquito, la dinámica del misterio Trinitario:

  1. 0! = 1, es decir, cero factorial igual a uno. La operación factorial para un número natural es el producto de todos los números desde él hasta el 1. Por ejemplo, 4 factorial, 4!, es igual a 4 por 3 por 2 por 1 o sea 24. Así, se creería, por la multiplicación, que cero factorial debería ser cero, pero resulta que, de una forma coherente con el famoso triángulo de Pascal, éste debe definirse como uno. La relación es simbólicamente interesante pues al “admirar el cero” sale el uno.
  2. 0 + 0 = ∞, o sea, cero más cero igual a infinito. Esto, claro está, no se cumple en la aritmética, pero si en la geometría juntando un par de ceros. Y esta poderosa expresión se satisface en el Evangelio cuando Jesús dijo que dos o más de los discípulos, santitos o ceros, al juntarse entre ellos podían pedir en nombre de Él lo que quisieran (Mt 18:19–20).
  3. 1 + 1 = 1, es decir, uno más uno igual a uno. Esta relación es también geométrica y no aritmética y se entiende uniendo los dedos índices de cada mano para notar que uno más uno es un uno más grande. La ecuación es útil para expresar la unidad de la verdadera amistad (Jn 17:11), la indisolubilidad de un hombre y una mujer que se vuelven uno en matrimonio (Mc 10:8) y la unidad final en la Iglesia (Jn 10:16).
  4. 1/0 = ∞, o sea, uno sobre cero igual a infinito. Esta ecuación, que incluye los tres numeritos, es verdadera en la aritmética y es análoga a que 1/x tienda a cero cuando la cruz x tiende a infinito.
  5. y0 = 1, es decir, “ye” o “i griega” a la cero igual a uno. Esta expresión es válida cuando la base y no es cero y sirve simbólicamente para expresar que cualquiera de nosotros elevados a la potencia de la santidad logramos la unidad en nosotros mismos y con Dios.
  6. 0 → ∞, o sea, del 0 hacia el infinito. Esta relación expresa la coincidencia común de encontrar una banda elástica en el piso, es decir, un claro número cero en la calle, que al contener una torsión dibuja también el infinito.

Ojalá el ritmo de la conga y las curiosas relaciones en la canción doten razones para festejar con júbilo la inmensidad de la Santísima Trinidad, hoy y siempre. Esta composición ciertamente prefigura el buen sueño de crear una banda Shanti Setú, o Puente de Paz en sánscrito, pues además tiene un bello y festivo arreglo compuesto por Lázaro y con piano de Israel, ambos cubanos. Ojalá su coro sea útil para recordar la vital transición del cero al uno y al infinito e invite a unirse, a paso de conga, al mejor trencito y hasta el infinito…

Conga hasta el infinito

0! = 1, 0 + 0 = ∞, 1 + 1 = 1, 1/0 = ∞, y0 = 1, 0 → ∞

Esta es la conga
de los numeritos,
ven goza tu conga
hasta el infinito. (2)

El cero admirado
hace un unito,
y cero más cero
es el infinito.

El uno más uno
unen un buen rito,
y el cero entre uno
da todo, todito.

El cero en potencia
logra el mismo hito,
y torsión de nada
llega al infinito.

Shanti Setú…

Esta es la conga
únete al trencito,
ven goza la conga
de tres numeritos. (2)

El cero animado
es uno bonito,
y cero con cero
da todo, todito.

El uno con uno
oh verso unidito,
y círculo abajo
dota el infinito.

El halito arriba
confirma al santito,
y cero trenzado
es todo, todito.

A gozar santito,
y también santita…

Al cero es,
al uno ves,
y al infinito. (2)

El cero clave es
llega a poquito.

El cero da poder
vences todo mito.

Se va el trencito…

El uno es como es
siempre unidito.

El uno sana bien
por ser infinito.

Al cero es,
al uno ves,
y al infinito. (2)

El cero clave es
siempre abajito.

El cero da poder
logras tu nidito.

El uno es como es
más que angelito.

El uno sana bien
es todo, todito.

Al infinito es…

Shanti Setú…

Al cero es,
al uno ves,
y al infinito. (2)

¡Ay que bonito!

Al cero es,
al uno ves,
y al infinito. (3)

(Septiembre 2007)

La canción se puede escuchar y también bailar aquí…

Publicado en Campanitas

La sorpresa exponencial

Tal y como lo relatan las Sagradas Escrituras, Jesús estuvo en compañía de los apóstoles por cuarenta días a partir de su resurrección (Hch 1:3) y entonces ellos lo vieron ascender milagrosamente al cielo camino de Betania (Lc 24:50–53, Hch 1:9–11). Una vez sucedió el milagro prescrito, los discípulos regresaron a Jerusalén acatando la orden del victorioso Mesías y permanecieron allí esperando la Promesa del Padre de ser bautizados con el Espíritu Santo (Hch 1:4–5). Conformando un grupo de unas ciento veinte personas, incluida María la Madre de Jesús y Madre Nuestra, ellos perseveraron desde entonces en la oración hasta el día anhelado (Hch 1:12–15), y éste llegó cincuenta días después de la Pascua, celebrándose así (del día 41 al día 49) una novena de oración que precedió el comienzo de la Iglesia en la mañana de Pentecostés (Hch 2:1,15).

Como es bien sabido, el Espíritu Santo se manifestó de una manera particularmente poderosa, y ciertamente con la vitalidad que modernamente podría denominarse como una sorpresa exponencial. Como nos explican los Hechos de los Apóstoles, llegó del cielo un ruido como el de una ráfaga de viento que llenó toda la casa, y se les aparecieron a ellos una lenguas como de fuego que se posaron en cada uno, para quedar así ellos llenos de Espíritu Santo y proceder a alabar a Dios en diversas lenguas (Hch 2:2–4). Este evento magnífico causó admiración y también burla de parte de los que residían en Jerusalén, pues mientras algunos se asombraron al oír las maravillas de Dios en sus propios idiomas, otros pensaron que los discípulos estaban borrachos cuando apenas era la hora tercia, o las 9 de la mañana (Hch 2:5–13).

¡Vaya manera insólita de llegar! ¡Vaya bautismo con fuego! ¡Vaya vital entendimiento el contar la grandeza de Dios en lenguas extrañas! Y luego, Pedro tomó la palabra para explicarle a la gente, detalladamente, lo que estaba sucediendo en nombre del Padre y del Hijo y se convirtieron allí, en ese día magnífico, como tres mil personas (Hch 2:14–41). ¡Vaya crecimiento realmente exponencial, y todo esto sin megáfono! Sin duda, el Dios trino es sorprendente y lo puede todo …

… El resto de esta campanita intenta mostrar, con toda humildad y sabiendo que es precisamente ÉlEl Espíritu Santo—quien enseña, guía y reparte como lo desea (Jn 14:26, Jn 16:13, 1 Co 12:11), cómo lo exponencial es, en efecto, inherente al Espíritu de Dios. Ciertamente, lo expuesto aquí, hallado meditando en el famoso pasaje de “La vid y los sarmientos” en el capítulo 15 del Evangelio según San Juan, llegó a mí de una manera sorpresiva y corresponde a una “traducción” simbólica-matemática del texto, tal y como intenté explicárselo al Papa Francisco en mi cuarta carta a él en el año 2014.

La bella y explícita explicación de Jesús a sus discípulos se encuentra a continuación, ilustrada por temas a todo color:

Yo soy la vid verdadera, y mi Padre es el viñador. Todo sarmiento que en no da fruto, lo corta, y todo el que da fruto, lo limpia, para que dé más fruto. Vosotros estáis ya limpios gracias a la Palabra que os he anunciado. Permaneced en mí, como yo en vosotros. Lo mismo que el sarmiento no puede dar fruto por sí mismo, si no permanece en la vid; así tampoco vosotros si no permanecéis en . Yo soy la vid; vosotros los sarmientos. El que permanece en mí y yo en él, ése da mucho fruto; porque separados de mí no podéis hacer nada. Si alguno no permanece en mí, es arrojado fuera, como el sarmiento, y se seca; luego los recogen, los echan al fuego y arden. Si permanecéis en mí, y mis palabras permanecen en vosotros, pedid lo que queráis y lo conseguiréis.  La gloria de mi Padre está en que deis mucho fruto, y seáis mis discípulos. Como el Padre me amó, yo también os he amado a vosotros; permaneced en mi amor. Si guardáis mis mandamientos, permaneceréis en mi amor, como yo he guardado los mandamientos de mi Padre, y permanezco en su amor.” (Jn 15:1–10)

La “traducción” que se posó, la cual posee también connotaciones geométricas, es, paso a paso, como sigue.

I. Jesús es la vid, la esencia, claro, y si le pudiésemos asignar un número, éste tendría que ser el 1. Él es el único hijo divino de Dios (Jn 1:18), el único que no pecó (1 P 2:22), el Cordero de Dios por medio del cual se expían nuestros pecados (Jn 1:29, 1 P 2:24), y ciertamente el número 1 de quien lo sigue, pues ni nuestros padres o hijos pueden ser más importantes que Él (Mt 10:37).

II. Como se expresa en diversas citas (Mt 16:24, Mc 8:34, Lc 9:23), Él nos llama a que nos abandonemos, a que seamos buenos sarmientos, a que lo sigamos tomando su cruz de verdad y no mentiras negativas y así dichas ramas corresponden a la geométrica expresión,

1/x,

en donde al crecer nuestra cruz positiva, x, logramos irnos hacia el cero que eventualmente expresa, al bajarnos, el halo de la perfección y la santidad, a la que estamos llamados (Mt 5:48).

III. Pero claro, de acuerdo a lo relatado a color arriba, esto no es del todo correcto. La clave está en permanecer en Él y Él en nosotros y entonces esto da lugar a la ecuación,

1 + 1/x,

que expresa en el signo más—o en otra cruz misma—la necesidad de nuestra estrecha relación con Él, pues el pasaje nos explica categóricamente que no podemos hacer nada por nosotros mismos sino “injertados” en Él, en la vid.

IV. Pero aquí tampoco acaba el asunto, pues si permanecemos en Él cumpliendo sus mandatos, entonces Dios Padre regocijándose en nuestro fruto nos da lo que le pedimos, es decir, nos da poder—de amar, claro está—, y esa potencia, expresada por un exponente, es precisamente la misma cruz unitiva de Cristo (Flp 4:13), dando así lugar a la expresión vital,

(1 + 1/x)x.

V. Cuando dicha cruz crece al infinito, esta ecuación, además de proporcionarnos nuestra santidad en el segundo término en la limpieza de la poda hecha por Dios, define el famoso número exponencial e ≈ 2.7182, que, por lo tanto, en el espíritu del relato, adquiere una connotación bondadosa. Como puede inferirse, dicho número irracional infinito, que no contiene un patrón repetitivo en su expansión decimal, rota hacia afuera en coordenadas polares—es decir sin egoísmo alguno como lo hace a su vez el número 9 de la novena primaria arriba—, y, al viajar de una forma no natural de menos a más, refleja el amor y, por ende de una forma geométrica, al Espíritu Santo.

VI. Esto es así, algo asombroso sin duda, y además lo es de una manera más formal, pues la función exponencial, ex, y solo ésa, satisface la definición concreta del amor en el llamado de Cristo que amemos a todos sin diferencia (Jn 13:34–35), es decir, satisfaciendo “la esencia del cálculo, integrándonos con todos sin dejar nadie afuera. ¡Vaya sorpresa en la notación que permite conocer el mejor regalo para construir la ansiada unidad en el amor, pero es cierto que solo la función exponencial positiva al integrarla y diferenciarla da lugar a ella misma!

VII. Como se observa entonces, el poder verdadero solo podemos lograrlo en la santidad acompañada por el Espíritu Santo, y, en efecto, nunca por nosotros mismos, ni siquiera integrando 1/x, lo cual denota al logaritmo natural. Ésta es la función inversa a la exponencial, que como se explicará en una campanita futura corresponde a la viga negativa e hipócrita (Mt 7:5) que no provee fruto alguno sino conflictos, desigualdades y violencia, que están ligados con el infierno de ramas secas quemadas al fuego.

VIII. Es bello observar en la sencilla y simbólica ecuación que resume el pasaje,

(1 + 1/x)x,

la presencia de tres cruces, y observar allí, de una forma particularmente profunda, las tres veces que Jesús le preguntó a Pedro, después que él lo negara tres veces, si lo amaba (Jn 21:15–17). Es bello en verdad, pues se puede notar que dicha expresión también aplica a todos nosotros como resumen del orden prescrito por Jesús, con Él siendo la Vid y nosotros los fieles sarmientos podados por el viñador.

IX. Pero hay aún una sorpresa adicional que completa esta novena. La expresión simbólica también puede emplearse de una forma espléndida para reafirmar:

Por Cristo, 1/x, con Él, 1 + 1/x, y en Él, (1 + 1/x)x, a ti Dios Padre omnipotente, es decir cuando 𝑥 va a infinito, en la unidad del Espíritu Santo, la e en el límite que une en la integración sin diferenciación del amor de ex y, claro, de allí de una manera coherente: todo honor y toda gloria, por los siglos de los siglos, o sea el infinito, ∞, que concuerda, al rotar, con que la Nueva Alianza en Jesús sea la octava en la lista que Dios ha hecho con el hombre, AMEN

… Contrario a lo sucedido con otro envío, en esta ocasión no supe si mi escrito fue leído por el Papa Francisco o no. Ojalá algún día sí lo leyera, pues, aunque lo expresado contiene una apologética inusual, el material puede ser útil para expresar la imperiosa necesidad de nuestro arrepentimiento como preámbulo del misericordioso perdón de nuestros pecados (Lc 21:47) y la primacía única de Jesús para que podamos lograr la ansiada vida eterna (Jn 14:6).

Que el Espíritu Santo y sus sorpresas nos acompañen hoy y siempre y que su guía permanezca en nosotros para que, siguiendo la sana doctrina—una que el Espíritu de Dios no puede cambiar pues por definición Él no puede contradecirse—, sepamos adentrarnos en la verdad y prepararnos para el retorno del Señor.

Para alabar cual los discípulos, ahora sigue un cha cha chá que llegó de regalo, seguro no por azar, en un día de Pentecostés sorpresivo y exponencial. Ojalá les guste y en especial el coro: ¡Oh santa sorpresa, dulce compañía!

La sorpresa anunciada

Se celebró un 9
¿cómo explicarlo?
y el tiempo de la e
simplemente vino…

Llegó trenzando
santa armonía,
su fuego daba
clara alegría.

Llegó cuidando
como un vigía,
su luz sembraba
bella poesía.

Llegó talando
la hipocresía,
su amor dotaba
fiel compañía.

Llegó brindando
la fina guía,
su ardor sanaba
la rebeldía.

Oh santa sorpresa
dulce compañía. (4)

Llegó colmando
de valentía,
su fe llenaba
de gozo el día.

Llegó animando
toda utopía,
su voz calaba
cual sinfonía.

Llegó aclarando
rancia porfía,
su ser bordaba
de fantasía.

Llegó anidando
plena cuantía,
su paz moraba
y el mal moría.

Oh santa sorpresa
dulce compañía. (8)

(Junio 2001)

La canción a capela se puede escuchar aquí con ritmo de la Orquesta Aragón de Cuba…

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