Hablemos de caos

Tristemente, la palabra caos es empleada cada vez más para describir lo que sucede en estos tiempos modernos. Por donde se mire en nuestro frágil planeta, el desorden implícito y el azar inherente que coloquialmente llamamos “caos” aparece con mayor frecuencia en diversos ámbitos de la vida: hay caos en las fronteras o se dice que lo hay; hay caos en la política y lo induce la arraigada corrupción; hay caos en la economía reflejado por desigualdades cada vez mayores; hay caos de muerte de inocentes desollados por todos lados y más. Lamentablemente, el tal caos es tan generalizado que ya casi ni nos inmutamos ante su presencia y sólo de vez en cuando nos parece doloroso y repugnante, como cuando irrumpe un notorio escándalo inmoral que no debería ser.

Existe una rama del saber moderno que estudia lo complejo y que puede emplearse para comprender la esencia del caos y la forma en que podemos combatirlo. Esta incluye la famosa teoría del caos, la cual es más que una teoría tradicional, pues sus resultados son plenamente comprobables. Sabiendo que ésta acaso va a ser la campanita más difícil hasta la fecha, a continuación intentaré explicar la ciencia del caos y sus fascinantes implicaciones.

Como se verá en ésta y las dos siguientes entradas al blog, vale la pena estudiar este tópico con cierto detenimiento pues da lugar a enseñanzas certeras y relevantes, tanto para la vida cotidiana como para la vida eterna. En todo caso, y reconociendo que el asunto no es trivial, confío que la descripción general del tema, y sus canciones al final, permitirán comprender la esencia del meollo.

La fórmula empleada—¡no se desanime y siga leyendo!—para introducir el concepto del caos es el llamado mapa logístico:

en donde X es el tamaño de una población (normalizada entre 0 y 1), digamos de “conejos”, k y k+1 son generaciones sucesivas, y α es un parámetro entre 0 y 4.

La ecuación, cuadrática al expandir su lado derecho, describe lo que ocurre de una generación a la siguiente y define una parábola simétrica:

Cuando {\bf X_k = 0}, {\bf X_{k+1} =  0}, claro, pues no se producen conejos de la nada y cuando {\bf X_k = 1/2}, {\bf X_{k+1} = \alpha/4} y este es el pico de la parábola.

La gráfica mostrada, para un valor de α igual a 2.8, exhibe la evolución de los conejos empezando el proceso con un tamaño pequeño de ellos {\bf X_0}. Como puede comprenderse, siguiendo sucesivamente las líneas verticales-horizontales mostradas hasta la recta {\textbf{\textit X = Y}} a 45 grados, el tamaño de la población, simplemente leyendo la parábola sucesivamente, crece primero a \bf{X_1}, luego a {\bf X_2}, y después termina convergiendo, pintando un espiral que sigue las manecillas del reloj, al valor {\bf X_\infty} mostrado, que, como se ve, corresponde a la intersección no-nula de la parábola con la línea recta.

La parábola bien expresa una organización logística de la población, pues describe, de una manera lógica, una tendencia creciente o “al alza” cuando hay pocos conejos y una decreciente o “a la baja” si existen muchos. Cuando el número de conejos es el máximo posible ({\bf X_k = 1}), la dinámica da lugar a una “parábola” punzante—a una lección sutil usando la otra acepción no geométrica de la palabra—, pues predice la extinción de los conejos en la siguiente generación ({\bf X_{k+1} = 0}), cuando ellos se pelean “a muerte” por recursos escasos e insuficientes.

Sucede que el destino final de una población, {\bf X_\infty}, depende de una manera dramática del valor del parámetro α en la fórmula logística.

Cuando la parábola se sitúa debajo de la línea uno-a-uno (α ≤ 1):

las líneas verticales-horizontales obtenidas a partir de un {\bf X_0} inicial muestran cómo la población disminuye hasta esfumarse, {\bf X_\infty = 0}. Para estos casos existe una convergencia, o atracción hacia el origen—el cero, cero—y esto es así independientemente de dónde empiece el proceso.

Cuando α > 1, la parábola cruza el umbral {\textbf{\textit X = Y}}, la población ya no converge a cero, sino que más bien diverge de él, dando lugar a que el origen no atraiga sino que repela:

Como se observa, la pendiente de la parábola en el origen excede la del umbral—es decir es mayor que uno—y, así, por razones eminentemente geométricas, un valor pequeño {\bf X_0} da lugar a valores que ya no viajan hacia el origen como cuando la parábola era pequeña sino que se alejan del cero para nunca retornar. Cuando 1 < α ≤ 3, la dinámica en efecto converge a la intersección no-nula entre la parábola y la línea recta, la cual, igualando las fórmulas, es {\bf X_\infty = (\alpha - 1)/\alpha}.

Cuando α aumenta más allá de 3, a la intersección no-nula le ocurre lo mismo que le pasó a {\bf X_\infty = 0} cuando se cruzó el umbral α = 1, o cuando la parábola cruzó la línea recta. La dinámica, en vez de converger a dicho punto, ahora repele y para α = 3.2 termina dibujando, de una forma sorprendente, un cuadrado que expresa que el número de conejos oscila y termina repitiéndose cada dos generaciones:

Este comportamiento repetitivo, también llamado periódico, ocurre nuevamente por razones puramente geométricas, pues la curvatura precisa de la parábola allí equipara los dos valores mostrados con la línea {\textbf{\textit X = Y}}. Sin embargo, y como sucedió antes, tal comportamiento repele cuando α se aumenta más allá de otro umbral, pues, por ejemplo, cuando α = 3.46, y de una forma asombrosa cual guiada por una nueva geometría, aparecen ahora oscilaciones cada cuatro generaciones:

Esto sucede como por acto de magia: empezando el proceso en un {\bf X_0} cercano al origen da lugar a líneas verticales-horizontales que viajan rápidamente hacia la intersección no-nula de la línea y la parábola, pero dicho punto repele y las líneas se van hacia el cuadrado del ejemplo anterior, pero éste también repele generando el patrón dado por las ocho líneas oscuras que indican que todo se repite cada cuatro generaciones. ¡Vaya brincos ingeniosos los de estos conejos!

Al aumentar α hasta un valor {\bf \alpha_\infty \approx 3.5699}, se establece una cadena de bifurcaciones, o sea cambios de dos en dos, que termina abarcando todas las potencias de dos. Notablemente y como fue difícil preverlo analíticamente antes del advenimiento de las computadoras, la parábola logística define una infinidad de umbrales en los que la dinámica cambia de conducta, pues pasa de ser convergente a ser divergente, o de atraer a repeler, y todo esto sucede a partir de una ecuación sencilla y solo aumentando su parámetro α.

Pero hay más, pues aún no hemos llegado al máximo valor de α que es 4, pues el pico es {\bf \alpha/4}. A partir de {\bf \alpha_\infty}, la parábola continúa forjando sutilmente su curvatura y esto da lugar a otros resultados insospechados y sorprendentes.

Por ejemplo, a veces el número de conejos se repite periódicamente, mas no en potencias de dos, como ocurre para valores de α de 3.74 y 3.83 cada cinco y tres generaciones:

y otras veces, y más comúnmente, la población da lugar a dinámicas que no exhiben comportamientos repetitivos, sino que más bien esbozan variaciones infinitas, como sucede para valores de α iguales a 3.6 y 4:

De una manera admirable, cuando α > {\bf \alpha_\infty} existen valores del parámetro para los cuales los conejos terminan repitiéndose exactamente cada n generaciones, para cualquier número natural que no es una potencia de 2. Y entrelazado con esta gama infinita de periodicidades, hay valores de α para los cuales el tamaño de la población nunca se repite, sino que más bien vaga para siempre en una danza sin fin en un conjunto conocido como un atrayente extraño. Esta sutil nomenclatura refleja el que sea “insólito” encontrar una población que sea variable para siempre, pero dicha notación resulta no ser del todo correcta, pues después de {\bf \alpha_\infty} dichos conjuntos “extraños” son los más comunes.

Los atrayentes infinitos, por su cambio infalible, definen el concepto científico del caos: un peregrinar perspicaz sin repetición que no depende del azar sino más bien de la forma geométrica particular de la parábola. Dicha notación también resulta ser coherente, pues cuando se posa su desorden, dos poblaciones arbitrariamente cercanas la una de la otra, al propagarse, divergen entre sí rápidamente. Este es el célebre efecto mariposa, el hecho que un pequeño error—tan minúsculo como el aleteo de una mariposa—impide que podamos conocer la evolución exacta de una población caótica, pues la única manera de lograrlo requeriría calcular con infinita precisión.

Como puede observarse para el valor de α igual a 3.6 arriba y también para α igual a 4, la dinámica caótica, aunque infinita, no abarca todos los posibles valores en un intervalo (ni dos), sino que contiene agujeros, cual un pastel con muchas capas, por dónde el atrayente no pasa. Esta estructura “hueca” sucede para cualquier atrayente extraño y entonces la fragmentación inherente del proceso, más allá de las infinitas bifurcaciones, puede calificarse diciendo que el caos sucede sobre un conjunto carente de cohesión (con puntos que no se tocan) bien denominado polvo, cual encontrado también en una campanita anterior.

La gráfica que muestra lo que el mapa logístico produce, es decir {\bf X_\infty}, en función de  α:

se conoce como el diagrama de las bifurcaciones, o rotado noventa grados en contra de las manecillas del reloj, como el árbol de Feigenbaum, en honor al físico Mitchell Feigenbaum, quien mostró que existe un orden preciso en la transición del orden hacia el caos, es decir en la forma en que ocurren las bifurcaciones de izquierda a derecha.

Como se observa, el árbol tiene una raíz recta que corresponde a la extinción de los conejos, {\bf X_\infty = 0}, y contiene para α de 1 a 3 una rama “tierna” la cual representa las convergencias de la población a un solo valor en la intersección no-nula de la recta {\textbf{\textit X = Y}} y la parábola. Desde el valor de 3 hacia adelante, surge la secuencia de bifurcaciones y ella hace crecer ramas cada vez más pequeñas, que abarcan todas las potencias de dos en {\bf \alpha_\infty \approx 3.5699}.

Como puede apreciarse mucho mejor en la cola magnificada del diagrama:

el árbol contiene muchas ramas periódicas adicionales y entrelazadas con ellas, múltiples atrayentes extraños caóticos, cuyos valores infinitos—dibujados verticalmente hasta donde lo permite la resolución del dibujo—representan el follaje polvoriento del árbol.

Como se observa, la cola del diagrama contiene bandas blancas verticales que corresponden a todos los períodos que no son bifurcaciones y las más prominentes son, de izquierda a derecha, las relacionadas con repeticiones cada seis, cada cinco y cada tres generaciones. Como puede apreciarse, acaso forzando un poco la vista, dentro de dichas franjas se hallan protuberancias, como en la banda más ancha del período 3 que contiene tres brotes” visibles.

Ampliando el brote del medio aparece algo admirable:

pues se encuentra una copia reducida del mismo árbol, aunque sin la raíz, la cual, como se ve, retoña a su vez en comportamientos caóticos y periódicos, los primeros definidos por puntos separados conformando muchos polvos y los últimos reflejados en más bandas blancas y más brotes.

De una forma notable y acaso increíble si no se ve para creerlo, en cada una de las infinitas bandas blancas correspondientes a repeticiones periódicas en la cola del diagrama, existen en efecto, universalmente, brotes, copias reducidas, ad infinítum, de las ramas y hojas (polvo) del árbol.

Aunque existen otros caminos posibles que dan lugar a conjuntos infinitos sin repetición, es decir a atrayentes extraños, el árbol de Feigenbaum—la higuera en alemán—provee la ruta más espectacular hacia el desorden y es el ícono más famoso de la teoría del caos. ¡Vaya historia inverosímil la de los inocentes conejitos cuyas poblaciones se comportan de una forma insospechada! ¡Quién lo iba a creer que su dinámica abarcaría repetirse de acuerdo a todos los números naturales!

Aunque esto ya sea considerado “clásico” y hasta trivial en ciertos círculos al haber sido descubierto en los años setenta del siglo pasado, yo no dejo de admirarme ante el espléndido espectáculo infinito en la higuera caótica. El desmembramiento del objeto es, sin duda, impresionante y como se torna polvoriento traspasando y traspasando umbrales, su dinámica parece estar guiada por una cruz mentirosa y divisiva y por ende, extraviada …

… Si ponderamos los resultados ciertamente admirables de la teoría del caos, su fraccionamiento vibrante insinúa que es razonable el emplear dichas nociones—la ecuación logística y su parábola, las bifurcaciones, la higuera caótica, las repeticiones generales y el polvo—para modelar cómo nosotros, cuando no somos cuidadosos, terminamos a menudo en la angustiosa confusión del caos. Pues aún si los cerebros saludables exhiben más rasgos caóticos que repetitivos, el parámetro α termina siendo un buen indicador de la forma en que vivimos, ya que refleja nuestra paz interna o la carencia de ella y también nuestra propensión a vivir en armonía o nuestra inclinación a crear conflicto.

Con debida imaginación, claro está, y comprendiendo que el asunto tiene que ver con nosotros y no con los bellos conejitos, podemos ver que las ideas representan un marco de referencia adecuado para contemplar nuestros comportamientos, pues de una manera precisa—aun si ocurre en sentido figurado como si fuera solamente una parábola o lección—, todos experimentamos en nuestras vidas diversos estados que están bien reflejados en diferentes localizaciones del árbol de Feigenbaum, como sigue:

De izquierda a derecha, ya sea un estado manso o humilde definido por el proverbio de no “cruzar la línea”; otro orgulloso u obstinado que refleja la ausencia de paz en nuestras acciones “fijas” más no basadas en el abandono total a la verdad sino más bien en nuestro entender y egoísmo; un estado confuso o indeciso que proviene de las dudas repetidas en nuestros intentos; o un estado de gran desazón o angustia, muchas veces acompañado por la violencia caótica del desorden, donde, al cruzar muchísimos umbrales, nuestros excesivos problemas nos condenan a vagar “mordiendo el polvo”.

En este espíritu, se pueden emplear los diferentes estados en el árbol de Feigenbaum para visualizar nuestros dilemas esenciales en escoger, nunca a la fuerza y siempre gozando del libre albedrío, ya sea un camino hacia la paz verdadera u otro carente de unidad. Esto resulta ser así pues el mapa logístico puede usarse—de tiempo en tiempo—para representar, en el producto de X y su complemento (1 – X), los estreses siempre presentes y las tensiones que todos experimentamos y también para describir de una manera clarividente lo que sucede cuando escogemos minimizar dichos efectos, esto es, cuando seleccionamos valores de α menores o iguales que uno, en vez de lo contrario.

Tal y como se expresó en una campanita anterior relacionada con la también divisiva turbulencia, en la carta logística del árbol de Feigenbaum podemos visualizar nuestras opciones fundamentales hacia el orden o hacia el desorden, como lo recuerdan, por ejemplo, nuestras “pendientes en el origen” ya sea “llanas” o “empinadas”, nuestras escogencias de lo simple o lo complejo permaneciendo debajo de la línea uno-a-uno o no, y nuestros estados atrayentes de serenidad y paz o de caos y turbulencia.

El escoger el caos o no, es ciertamente relevante, pues la discusión reitera que existe una y sólo una manera en que podemos lograr la paz verdadera, y esto corresponde a converger al origen, permaneciendo en la raíz recta del árbol en donde no existe división alguna. Pues, aunque suele ser trágico para algunos el perder sus conejos, es aún más triste el subir el árbol de Feigenbaum, es decir, el subirse a la higuera, pues ello nos aleja de la esencia pacífica y más bien nos lleva a estados llenos de fragmentación y desasosiego, como sucede eminentemente en los estados caóticos, en los que el vagar para siempre sin lograr retornar a casa (al origen)—¿se les parece algo?—representa una condición verdaderamente deplorable que uno no desea para nadie.

Como la naturaleza implacable del caos y su sutil efecto mariposa se infiltra en nuestras vidas cuando subimos el árbol, las ideas nos recuerdan que, en efecto, debemos escoger entre decrecer y aumentar, esto es, entre decidir ser humildes en nuestras acciones o no, como se refleja en atenuar ({\bf \alpha \le 1}) o magnificar ({\bf \alpha > 1}) nuestras respuestas a los problemas que tenemos. Como estas nociones apuntan hacia la simbólica raíz y al mismo Origen al que se llega por la hipotenusa, ahora una clara puerta estrecha para quien “para bolas” escogiendo una parábola debajo de la línea, dicha condición está asociada con hacer lo que Dios manda, lo cual sólo puede lograrse debajo de {\textbf{\textit X = Y}}, y no arriba tentados por el último punto de la rama tierna del árbol cuando α es igual a 3, es decir {\bf X_\infty = 2/3 = 0.666\ldots}, en donde se refleja de una manera vívida nuestro verdadero enemigo común, el mismo diablo reflejado en los remolinos de la turbulencia.

Esta reflexión expone nuestras opciones de caos o no caos y nos convoca a una condición de fiel abandono o conversión, esto es, al cero de la santidad y la obediencia:

bajándonos del árbol, en vez del egoísmo y la rebeldía, las cuales conllevan bendiciones y vida o maldiciones y muerte, cual reflejado de una manera Bíblica en el concepto del polvo.

En verdad es tristísima la dinámica caótica, pues viajar para siempre en el polvo representa un destierro pavoroso y definitivo del origen, cual el horrendo infierno antiguo y real del que hablaremos un poco más en la siguiente campanita.

Para terminar, a continuación, incluyo una canción que llegó como respuesta para un buen amigo y también mi profesor quien alguna vez me dijo que no entendía de caos. Curiosamente, esta composición llegó en un aeropuerto, en medio de la espera “caótica” que se formó por el ulterior aplazamiento de un vuelo ya atrasado.

CAOS NUNCA MÁS

Inspirada por Los Novo de Cuba…

No me digas no
que no lo entiendes
ay no que no,
no me digas no
el caos abate
siempre al amor;
no me digas no
que no lo entiendes
ay no que no,
no me digas no
el caos pierde
con el amor.

Todo comienza así
con atracción sutil,
un fruto ajeno ves
parece toda miel,
el ego dice ay sí
traspasas tu nivel,
muerdes el polvo y ya
es caos en cantidad.

Es tan común ay sí
el diablo y su matiz,
destruye la amistad
negando la raíz,
el ego dice ¿y qué?
valiente y sin poder,
te alejas con afán
es caos de ansiedad.

Es triste siempre sí
dinámica fatal
un error pequeñito
crece presto sin azar,
el ego dice ay no
yo lo puedo si Él,
te haces el tonto y ya
es caos de verdad.

El pago justo ay sí
destierro colosal,
logística confirma
en origen la humildad,
el ego fiel al fin
aprende de verdad,
aceptas buen ardor
y el caos ya se va.

Todo termina así
con actitud gentil,
el verbo te arrebata
no te deja ya mentir,
el ego bello en paz
proyecta su hermandad,
caminas de su mano
no hay caos nunca más.

No me digas no
que no lo entiendes
ay no que no,
no me digas no
el caos abate
siempre al amor;
no me digas no
que no lo entiendes
ay no que no,
no me digas no
el caos pierde
con el amor.

(Mayo 2007/Enero 2019)

Un fragmento a capela se puede escuchar aquí…

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