De puntito a puntito

Esta campanita intenta explicar cómo llegaron las ideas que vinieron a darle una nueva perspectiva a mi vida, tanto en el ámbito científico como en el de la verdadera fe. Aunque el relato se basa en diversos diagramas que acaso algunos no deseen examinar, los invito a todos, cual un maestro que desea ser entendido, a seguir las explicaciones con la debida paciencia. Como lo verán, la crónica es eminentemente geométrica y la trama puede entenderse visualmente sin adentrarse demasiado en las matemáticas. Los exhorto pues a considerar esta exposición que contiene, además de bellas sorpresas, descubrimientos propios e inesperados que abarcan los exóticos rosetones presentes en cada una de estas campanitas.

Para establecer el flujo de las nociones, es pertinente describir un juego sencillo que tiene un nombre que lo hace parecer muy complejo: “el juego del caos. Así lo bautizó el químico y matemático inglés Michael Barnsley, un científico notable a quien le escuché una charla vibrante en la Universidad de California, Santa Bárbara, por allá en 1988.

El juego es un juego de azar, y para llevarlo a cabo se requiere lanzar un dado, una y otra vez. Se selecciona primero un triángulo, y, luego de vincular sus vértices con las caras del dado, por ejemplo, 1 2, 3 4 y 5 6, se marca el punto que está en la mitad de la línea que une los vértices 1 2 y 3 4:Ahora comienza la dinámica del juego lanzando el dado al aire. Digamos que salió un 5. Entonces, este hecho se traduce dibujando el punto localizado en la mitad del puntito inicial y el vértice del triángulo asociado con el número 5:El juego continúa tirando el dado nuevamente. Supongamos que esta vez salió un 3. Entonces, ahora se marca el punto que está en la mitad del último puntito y el vértice del triángulo ligado con el número 3:Se repite la historia una vez más y digamos que salió un 1. Entonces, cual esperado ya, se dibuja el puntito que está en la mitad del último puntito en el proceso y el vértice del triángulo relacionado con el número 1:Como se observa, con la ayuda de las flechas de colores, el juego en efecto viaja de puntito a puntito—como en el título de la campanita, y lo hace yendo desde el último punto marcado al punto medio del vértice asociado con lo que sale al lanzar el dado. El juego en verdad no es muy difícil de entender, pero la pregunta que surge al jugarlo no es del todo trivial: ¿qué resulta si se lanza el dado muchas veces?

Deducir la respuesta con regla y compás es ciertamente algo engorroso, pero todo se puede implementar en estos tiempos modernos empleando una computadora (o un ordenador) capaz de repetir las reglas matemáticas (“muévase al punto medio de”) rápidamente y sin equivocarse. Si el juego se hace así unas 500 veces, esto es lo que aparece:Y si se reitera el procedimiento muchas veces más, los puntitos convergen a un único conjunto: Éste es el célebre triángulo de Sierpinski, un objeto fractal compuesto por muchísimas copias reducidas del mismo objeto, el cual puede describirse de la siguiente manera: tome el triángulo grande con los vértices asociados con las caras del dado y excluya de él el triángulo interno del centro (el más grande arriba en blanco) para obtener los tres triángulos adyacentes a los números del dado; ahora excluya los tres triángulos blancos del medio para hallar nueve triángulos sólidos a los cuales se les borran los triángulos de la mitad, y así sucesivamente, ad infinitum.

Ciertamente, el que el “juego del caos” genere, puntito a puntito, un “queso lleno de huecos” representó, en su momento (y también hoy), una sutil sorpresa para no pocos, incluyéndome a mí, pero fue aún más sorprendente el entender que los detalles específicos del juego no importaban del todo, pues, de una manera espléndida, siempre se llega al mismo objeto, independientemente de lo dictado paso a paso por el dado.

Contrario a la intuición natural, el empleo del azar en la construcción no afecta la naturaleza del objeto final, el cual, como ya se hizo, puede describirse sin la necesidad del azar. Esto suena como una jeringonza, pero no lo es: el juego del caos, empezando (más generalmente) en un vértice del triángulo, produce un orden manifiesto, pues los puntitos, al brincar hacia los vértices dejando espacios vacíos, siempre generan, eventualmente, el mismo objeto, sin importar ni el tipo de dado empleado—cargado o no—ni la secuencia concreta hallada al lanzar el dado una y otra vez, es decir sin importar quien arroja el dado.

Dado que la reiteración de reglas sencillas produce, de puntito a puntito, un objeto interesante, el mismo Barnsley estudió diversos juegos del caos basados en otras fórmulas matemáticas sencillas y todo lo plasmó en un libro célebre llamado Fractals Everywhere. Aunque acaso el más célebre de sus múltiples hallazgos fue el mostrar que la geometría de un helecho se puede aproximar empleando cuatro reglas simples, a continuación se ilustra en detalle otra construcción que, como se verá más adelante, resulta ser útil para modelar la geometría de patrones geofísicos y más, tal y como tuve la suerte de descubrir.

Así pues, pidiéndole a los lectores que no se dejen amedrentar por las matemáticas, he aquí dos reglas sencillas—¡de veras!—para ser empleadas jugando otro juego del caos basado en los lanzamientos sucesivos de una moneda:Estas son las únicas ecuaciones requeridas para comprender la esencia de esta campanita y por eso trato de explicarlas en detalle a continuación.

Lo primero es notar que, en efecto, las dos reglas denotadas por w_1 y w_2 (doble v sub uno y doble v sub dos) toman un puntito genérico con coordenadas (x,y) y lo llevan a otro puntito en el plano con coordenadas dadas por las expresiones a la derecha de los signos igual.

Como se puede observar, mientras que la primera coordenada producida al usar w_1 es la mitad del valor inicial x, aquella obtenida al emplear w_2 es igual a la mitad del valor inicial más un medio. Es así como la regla w_1 viaja hacia la izquierda y w_2 a la derecha del valor de un medio, tal y como está denotado por las flechas de colores arriba.

Mientras que las primeras coordenadas dadas por las fórmulas dependen solamente del valor de x inicial y por ende están desacopladas del valor de y, las segundas coordenadas para las dos reglas emplean ambos valores, x y y, en sus cálculos respectivos. Para la primera regla se obtiene simplemente la suma del valor inicial x y el producto de un parámetro d_1 con el valor inicial y, y para la segunda algo análogo en la suma de la expresión 1 - x y el producto de otro parámetro d_2 con el valor inicial y. En ambos casos, las fórmulas de las segundas coordenadas son muy sencillas y en el argot de las matemáticas corresponden a combinaciones lineales de los valores iniciales x y y.

Los parámetros d_1 y d_2 juegan un papel similar al del parámetro \alpha en el estudio del caos empleando el mapa logístico, y son como perillas que pueden variarse para amplificar de diversas maneras los valores iniciales de y, tal y como ocurre con un dial en un aparato electrónico. Mientras que el \alpha del caos debe estar entre 0 y 4, los parámetros aquí también tienen rangos restringidos y deben estar entre -1 y 1, sin incluir dichos valores extremos.

Habiendo descrito las reglas, ahora ya pronto se jugará el juego del caos empleando caras y sellos (cruces) para emplear sucesivamente w_1 y w_2, respectivamente, es decir, repitiendo una vez más las ecuaciones para recordarlas, con cara dando lugar a un movimiento a la izquierda y sello a uno hacia la derecha:Pero antes de jugar, es menester explicar cómo las dos reglas se relacionan con tres puntos con coordenadas (0,0), (0.5,1) y (1,0), de modo que sea natural saber de dónde debe empezar el juego.

Como puede calcularse reemplazando en las fórmulas, mientras que w_1 lleva al puntito (0,0) al mismo sitio (0,0), w_2 lleva al punto (1,0) al mismo puntito (1,0), es decir, w_1 y w_2 dejan fijos a los puntos (0,0) y (1,0), respectivamente. Ahora, e independientemente de los valores de d_1 y d_2, la regla w_1 lleva el punto (1,0) a (0.5,1) y la otra regla w_2 hace lo mismo a partir del (0,0), tal y como se muestra:
De aquí se desprende que el empezar el juego del caos en el punto del medio es una buena idea, como está marcado a continuación como un puntote:Así pues, ahora sí listos para probar suerte lanzando una moneda, sólo se requiere saber cuánto valen los parámetros d_1 y d_2, los cuales asumimos que son iguales a 0.5 y -0.5, respectivamente, el primero positivo y el segundo negativo. Así, supongamos que se lanza la moneda por primera vez y que sale cara. Entonces el uso de la regla w_1, asociada con dicho resultado, genera un puntito a la izquierda, tal y como está marcado:

Ahora se lanza la moneda de nuevo y digamos que vuelve a salir cara. Entonces surge otro puntito, a partir del sitio anterior, que se encuentra a la izquierda y (calculando) un poco más abajo:Todo continúa como en el primer juego del caos, de puntito a puntito. Supongamos ahora que la moneda muestra su primer(a) sello (cruz). Entonces, esto da lugar a otro puntito, a la derecha del medio, al provenir del uso de la regla w_2: La pregunta fundamental es la misma de antes: ¿qué se obtiene al repetir el juego muchas veces? Ciertamente, el llevar a cabo los cálculos con calculadora en mano y marcando los puntos en el papel es algo bastante oneroso, pero todo se puede implementar fácilmente aprovechando el advenimiento de la tecnología moderna. De esa manera, aquí está lo que se encuentra luego de unas 100 reiteraciones:Y aquí se muestra la sorpresa encontrada al repetirse el juego muchas veces:Como por arte de magia, pero sin requerir de tales dotes oscuras, el bombardeo de puntitos sucesivos se ordena en un objeto que es como un alambre, que además evoca el perfil de una montaña. Lo obtenido es una función de x a y, y ella aparece independiente del azar y del tipo de moneda empleada, ya sea una justa o una sesgada.

Al final, y tal y como se hizo con el triángulo de Sierpinski, la “montaña” mostrada puede describirse, en efecto, sin depender del azar, pues surge independientemente de la secuencia precisa de caras y sellos empleada en el proceso. Si la magnitud de d_1 y d_2 se denomina z, es decir 0.5 en este caso, el perfil o contorno aparece siguiendo el siguiente procedimiento.

Primero se unen los tres puntos antes nombrados (0,0), (0.5,1) y (1,0), de izquierda a derecha, mediante líneas rectas y a partir del punto medio de ellas, y en concordancia con que d_1 sea positivo y d_2 negativo, se sube z a la izquierda y se baja z a la derecha, definiendo así dos puntos adicionales en el alambre:Habiendo ahora cinco puntos en total, ellos se unen empleando cuatro líneas rectas de izquierda a derecha y se definen cuatro puntos más del perfil a partir del medio de dichas líneas, subiendo y bajando en la primera mitad y bajando y subiendo en la segunda mitad, o sea el recíproco de la primera mitad, una distancia igual a :Ahora con nueve puntos en la montaña, ellos vuelven a unirse de izquierda a derecha y a partir del medio de dichas líneas se definen ocho puntos más subiendo, bajando, bajando y subiendo en la primera mitad como en el paso anterior, y bajando, subiendo, subiendo y bajando en la segunda mitad, es decir el recíproco de la primera mitad, y empleando en todas partes una distancia igual a .

Como ya lo pueden imaginar, la construcción dada por el juego del caos coincide con lo obtenido al agregar puntos al perfil en crecientes potencias de z, a la primera potencia y al cuadrado cual mostrado, y luego todos los exponentes enteros posibles siguiendo secuencias hacia arriba y hacia abajo (subiendo y bajando), como se ha explicado ya. Como las potencias de z decrecen cuando dicho valor z es menor que 1, el tamaño de lo agregado por el medio es cada vez más pequeño y entonces la construcción converge, sin azar, a un perfil único.

Ciertamente, de ninguna manera deseo argumentar que lo aquí expuesto sea trivial, pero el mensaje que espero sirva de resumen a esta sección del relato es que el jugar un juego de azar con reglas sencillas bien puede producir objetos geométricos interesantes que al final, y de una forma curiosa, no terminan dependiendo del azar …

… La existencia de dichos perfiles de montaña, calculados rápidamente y empleando poca información, es decir, las coordenadas de los tres puntos por los que pasa el alambre y los dos parámetros d_1 y d_2, capturó mi atención, pues pensé que quizás ideas similares, pero en más dimensiones, permitirían estudiar problemas relevantes en mi profesión.

En ese momento, ya hace más de treinta años atrás, uno de los tópicos fundamentales en la hidrología era el tratar de entender cómo evolucionan las redes de los ríos y, así, llegué a creer que una manera de abordar dicho problema era extender las nociones de modo que otras reglas sencillas generaran no sólo perfiles, sino superficies de montañas, para extraer, a partir de ellas, ríos diversos, bajo diferentes circunstancias, los cuales acaso pudieran esbozar la dinámica de las redes de drenaje.

Aunque la idea aún parece ser buena, debo decir que no funcionó muy bien. En efecto pude generalizar las nociones de dos a tres dimensiones, pero las superficies que logré obtener contenían crestas no naturales que daban lugar a ríos a todas luces extraños. Sin embargo, a pesar de que haya fracasado en mi intento, aprendí un poco más acerca de las nociones reiterativas, y como lo explicaré más adelante el conocimiento adquirido resultó ser útil.

Y volviendo a las dos reglas antes explicadas y mostradas aquí por tercera vez:sucede que el juego del caos, al variar los signos de los parámetros d_1 y d_2, da lugar a otros perfiles interesantes que pasan por los tres puntitos con coordenadas (0,0), (0.5,1) y (1,0).

Si d_1 y d_2 tienen la misma magnitud igual a z, los contornos que se hallan para diferentes combinaciones de signos y cuando z es igual a 0.5 son:Mientras que el caso + –, con d_1 positivo y d_2 negativo, corresponde a la montaña previamente explicada, con sus puntos intermedios hallados subiendo y bajando a cada nivel en potencias de z, el caso – + da lugar a la misma montaña volteada de izquierda a derecha (y por ende no mostrada), pues los puntos que antes se encontraban subiendo ahora se hallan bajando y viceversa.

El caso – –, con d_1 y d_2 ambos negativos, da lugar a un objeto que evoca otra montaña, esta vez simétrica como se ve debajo, la cual proviene de una construcción análoga a la antes explicada del caso + -, con desplazamientos definidos a partir de puntos medios de líneas, pero ahora bajando y subiendo, alternadamente, todos los puntos relacionados con potencias crecientes de z: los dos primeros bajando z, los siguientes cuatro subiendo , los siguientes ocho bajando , y así sucesivamente.

Finalmente, el caso + +, arriba a la derecha en la figura y correspondiente a d_1 y d_2 iguales y positivos, no define un perfil de montaña sino más bien el contorno redondeado de una nube, en el cual los puntos intermedios no se encuentran bajando sino siempre subiendo a partir de puntos medios de líneas sucesivas en potencias de z:

lo cual evoca ahora la geometría de las alas de un ángel.

Curiosamente, la forma de los perfiles generados—también por el juego del caos, valga la sutil aclaración—depende de los signos de d_1 y d_2: montañas si algún parámetro es negativo y nubes si ambos valores son positivos. Nótese también el hecho, acaso también sorpresivo, que el caso – – no es al “negativo” del caso + +, pues el uso de parámetros negativos en las ecuaciones no da lugar a una nube cuyos puntos se hallen bajando, sino más bien a una montaña con puntos que oscilan bajando y subiendo.

Cuando el valor de z se aumenta de 0.5 a 0.8, aparecen alambres más densos que tienen rangos verticales más grandes que los anteriores:Notoriamente, al comparar estos perfiles con los que corresponden a z igual a 0.5, se observa que éstos requieren de más tinta. Esto es así pues, en efecto, los contornos correspondientes a z igual a 0.8 llenan más espacio que los primeros, lo cual se refleja en que tengan diferentes dimensiones fractales: 1 cuando z es igual a 0.5 y 1.68 cuando z es igual a 0.8.

Esto de las dimensiones fractales llega al relato por segunda vez y “a quema ropa”, y debo aclarar, a los que han sido pacientes en la lectura y no sabían acerca de tales dimensiones, que así como una línea recta es uni-dimensional y tiene una dimensión (fractal) igual a 1 y así como un cuadrado es bi-dimensional y posee una dimensión (fractal) igual a 2, existen otros objetos geométricos que al abarcar espacios intermedios, es decir más que líneas y menos que el cuadrado, se les puede asignar una dimensión fractal intermedia entre 1 y 2. Todo esto y más lo introdujo el gran científico Benoit Mandelbrot, quien además definió a dichos objetos intermedios como fractales.

Los alambres intrincados, que son como una cuerda uni-dimensional, son finitos en longitud cuando z es menor o igual a 0.5, pero cuando z excede 0.5, ellos se tornan infinitos. Así, desde el valor 0.5 hasta el límite cuando z tiende a 1, la dimensión fractal de los perfiles, y la inherente capacidad de dichos objetos de llenar espacio, aumenta progresivamente, desde un valor de 1 (al estar los perfiles debidamente unidos como una línea) hasta el límite de 2, en el cual los contornos llenan tanto espacio como el plano bi-dimensional.

Ciertamente, todo esto tampoco es trivial, pero se puede resumir diciendo que el juego del caos es capaz de generar perfiles interesantes que, al ser fractales, tienen la propiedad de llenar el espacio en dos dimensiones de maneras diversas. Todo esto es, sin duda, algo complejo y también sorpresivo, y ciertamente lo fue—y aún lo es—para mí …

… El perfil de montaña correspondiente al caso + – se puede hallar jugando el juego del caos con cualquier tipo de moneda: ya sea una justa que impele a las reglas a viajar a la izquierda y a la derecha en la misma proporción, o una sesgada que le otorga una mayor prioridad a una regla dada. Aunque al final siempre aparece el mismo objeto, el uso de diferentes monedas induce histogramas diversos sobre el perfil, los cuales dependen de dónde van cayendo los puntitos:Cuando la moneda es justa (cual dibujado a la izquierda), los puntos dados por el juego del caos caen a la izquierda y a la derecha con la misma probabilidad, y así se define una representación uniforme de puntos en el alambre. Si la moneda es una sesgada, de manera tal que la regla w_1 sea empleada el 70% del tiempo y w_2 el 30% restante (como está mostrado a la derecha), el juego da lugar a una distribución desequilibrada de puntos, la cual, en virtud a las direcciones en que operan las reglas, se concentra más en el lado izquierdo del alambre.

Como se puede notar, la moneda sesgada define un histograma lleno de espinas o púas, y un fiel lector con buena memoria ya se habrá dado cuenta que dicho objeto, esparcido sobre el alambre, es el mismísimo multifractal que se relaciona con las desigualdades de la riqueza en el país más poderoso del mundo a finales del siglo XX y con la turbulencia en el aire, como está explicado aquí y también aquí. Para describirlo brevemente una vez más, tal multifractal está conformado por diversas capas de espinas con densidades variables, las cuales están definidas sobre polvos fractales cuyas dimensiones varían entre 0 y 1, y de allí la nomenclatura.

Así pues, sin importar si la moneda usada sea justa o sesgada e independientemente de quién la lance sucesivamente, es decir de la secuencia específica de caras y sellos, el juego del caos produce el mismo alambre y siempre genera los mismos histogramas estables sobre el perfil, es decir uno uniforme si la moneda es justa y uno multifractal lleno de púas si la moneda es sesgada. Esto es así en virtud a un teorema que demostró un matemático colaborador de Michael Barnsley llamado John Elton, y así, cuando explico todo esto, siempre agrego el chistecito que no se debe confundir al matemático con el que tiene el nombre invertido: Elton John.

Recuerdo bien que fue un viernes, es decir un “martes” en estos tiempos de pandemia, cuando comprendí que el diagrama lleno de espinas bien podía ser útil para modelar datos hidrológicos. En efecto, me di cuenta por allá en 1989, al leer un bello y breve artículo de Charles Meneveau y Katepalli Sreenivasan con relación a la estructura irregular de la turbulencia, que lo que generaba el juego del caos, o sea el multifractal, era precisamente la enciclopedia del desorden que ellos habían encontrado, y entonces le propuse a mi colaborador Enrique Ángel—yo siempre digo que un ser alado me ayudó—que implementara el juego del caos para calcular lo que se observaba desde los ejes x y y, y en particular el caso dado por la moneda injusta que era el que intuía podía ser de provecho en mi ocupación científica.

Lo que se ve desde el eje x implica seguir la flecha oscura debajo para todos los puntos localizados a lo largo de la línea marcada por la letra x, hasta que aparecen las espinas:Como para cada valor de x, a lo largo de una línea paralela a la marcada por la letra y, el alambre solo exhibe una espina, lo que se observa en tal dirección es la colección de espinas multifractales generadas por una cascada multiplicativa relacionada con la turbulencia, la cual puede resumirse como sigue.

Cuando la inercia en el aire subyuga la cohesión del mismo, el fluido se rompe en una cadena irreversible de remolinos, que dividen las energías sucesivamente en una proporción 70% y 30%, lo cual da lugar a una concentración desigual e intermitente de energías que engendran violencia:Como la moneda da lugar al uso de w_1 (hacia la izquierda) el 70% del tiempo, y w_2 (hacia la derecha) el 30% del tiempo, la cascada aparece dividiendo la escala horizontal por mitades y multiplicando las proporciones para calcular las energías. Por ejemplo, en el segundo nivel—donde la flecha descendiente termina y el remolino más grande rota hacia adentro—la moneda se habría lanzado dos veces y el histograma contabilizaría todos los posibles productos de 70% y 30% dos veces, esto es, de izquierda a derecha, 49, 21, 21 y 9%.

Cuando se posó la idea que implementaría el ángel, en efecto sabía lo que se vería desde el eje x. Pero, no obstante, esto era así, no sabía qué se encontraría desde el eje y, y esto en virtud a las múltiples subidas y bajadas que definen un alambre. Lo que se ve en dicha dirección conlleva seguir la flecha oscura debajo para todos los puntos situados a lo largo de la línea marcada por la letra y, hasta que aparecen las espinas:Como el número de espinas observadas, a lo largo de líneas paralelas a la marcada por la letra x, depende del valor de y—y son a veces 2, otras veces 4 y también 6 y otros valores para otros perfiles—, lo que se ve no es obvio, aunque sí se sabe que deba ser la acumulación o suma de dichas espinas situadas en la misma visual.

En el espíritu de la discusión, aquí están, el perfil de montaña y los histogramas que se observan desde los ejes x y y, denotados por dx y dy, respectivamente:Siguiendo la dirección de la flecha curva, que denota la transición desde una entrada hacia una salida pasando por el alambre, las conspicuas espinas del objeto dx y la curvatura y vericuetos peculiares del alambre de x a y dan lugar a un objeto dy que claramente contiene una complejidad notoria, ciertamente mayor que la de las espinas en dx.

La idea de aquel viernes resultó ser buena pues al dibujar horizontalmente lo visto desde y aparece un objeto aparentemente guiado por el azar que refleja las intermitencias naturales presentes en datos geofísicos (y también hidrológicos) en función del tiempo:Y todo esto, debo agregar con alegría, con las sorpresivas propiedades que el objeto claramente “azaroso” no depende del azar y que él está codificado empleando pocos parámetros: el sesgo de la moneda, las coordenadas de los tres puntos por los que pasa el alambre, y los valores de d_1 y d_2.

Ahora, esto de citar el azar varias veces de nuevo parece ser otro galimatías semántico, pero no lo es.  El objeto dy, al no contener un patrón regular visible, se puede interpretar naturalmente como un ente del azar. Pero, a su vez, dicho objeto complejo, por su unicidad, no es inherentemente un elemento del azar en virtud al citado teorema de Elton. Claramente, dx y el alambre no son objetos del azar y así dy, aunque lo parezca, tampoco lo es. El histograma dy de todos los puntitos del juego del caos en dicho eje es único y así provee otro ejemplo de lo ya explicado con relación a la teoría del caos: el que no se requiera un modelo basado en el azar para representar lo que parece ser guiado por el azar, cual explicado un poco más aquí.

Estas nociones, que introdujimos en la literatura como el modelo fractal-multifractal, pues el alambre es típicamente fractal y dx es un multifractal, pueden describirse de una manera platónica, como sigue. Si se considera al alambre como un sistema de x a y, la salida dy se puede entender como la sombra (técnicamente la proyección) que hace el alambre cuando éste es “iluminado” por la entrada al sistema dx. Esto ciertamente evoca las nociones de Platón en su famosa alegoría de la caverna en La República, pues corrobora la noción que la realidad acaso proviene de un ente superior por medio de sombras. En verdad, la analogía también abarca otras nociones en el famoso relato, pues, al intentar compartir con mis colegas el que la complejidad natural pueda acaso describirse sin emplear el azar y usando pocos parámetros, algunos de ellos, “cavernícolas” ilustres, han querido “matarme” al yo atreverme a pensar de una manera diferente a la suya.

Como el objeto dy se relaciona con la turbulencia en el aire y como el alambre unido es una función matemática que viaja de x a y, entonces el histograma de los puntitos dados por el juego del caos en y, es decir dy, también se puede entender como una transformación, física, de la turbulencia, como un ordenamiento peculiar de las energías en los remolinos originales. Esta era mi idea inspirada de aquel viernes: el que aparecieran señales hidrólogicas en y, al estar ligadas con la turbulencia.

Esta construcción geométrica también representa, sin lugar a dudas, una idea rara y eminentemente “romántica”, platónica, en estos tiempos modernos, esto es, en el siglo XXI y después de la mecánica cuántica basada en el azar, pero hemos estado jugando con estas ideas a través de los años y hoy por hoy sabemos que se pueden generar diversos tipos interesantes de complejidad sin invocar el concepto del azar.

El descubrimiento geométrico, aquí en la Universidad de California, Davis, ciertamente suscitó mucha alegría con mis primeros colaboradores, y no sólo con Enrique Ángel quien lo implementó todo, sino con Marc Bierkens, hoy por hoy miembro honorífico de la Sociedad Americana de Geofísica, no poca cosa, y con Germán Poveda, co-ganador del Premio Nobel de la Paz conjuntamente con Al Gore, por sus trabajos en el espinoso e importante tema del cambio climático, tampoco poca cosa.

Basado en el trabajo de diversos colaboradores hasta la fecha, sabemos que “sombras nada más”—¡oh canción triste!—, o proyecciones para ser precisos, producen, al variar sus parámetros esenciales, una multitud de objetos geométricos: que en verdad se parecen a patrones naturales medidos en el tiempo (a la izquierda), los cuales preservan las características estadísticas observadas en la práctica tal y como la función de auto-correlación y el espectro de potencias (a la derecha).

Y más aún, sabemos que las ideas platónicas permiten aproximar o codificar de una forma fidedigna datos reales de lluvia, caudales y temperatura, conjuntos de datos específicos medidos ya sea a nivel diario durante un año o más o por evento, tal y como lo ilustra a continuación un ajuste fractal-multifractal de una tormenta observada en Boston:Mientras que a la derecha aparecen los datos medidos en función del tiempo (de abajo a arriba), a la izquierda se muestra una representación que generaliza lo antes explicado, una que al reiterar cuatro reglas lanzando un tetraedro, genera un multifractal dx y el alambre mostrado que ahora pasa no por tres sino por cinco puntos. Los parámetros de la construcción se hallaron de modo que el dy obtenido aproximara los datos y sus estadísticas primordiales, y aunque las dos columnas a la derecha no son idénticas, sí pertenecen a la misma “familia”.

Este hecho lo corroboró el mismo Benoit Mandelbrot a quien le mostré la figura en una importante conferencia sobre fractales que sucedió en 1996. Él, apuntando a los datos a la derecha me preguntó “¿qué es esto?” y yo le dije “lluvia en Boston”, a lo cual él dijo apuntando a la izquierda “entonces esto también es lluvia”, a lo cual repliqué “muchas gracias”, pues si él así lo veía entonces todo iba por buen camino. Con el gran científico, autor del libro La geometría fractal de la naturaleza, entre otros, tuve otro encuentro años después en 2004 en el que él criticó mi uso de la palabra alambre, pues él argumentó, con razón, que los así denotados no conducían la electricidad. Yo le respondí que así los había llamado para poderle explicar las ideas a mi papá, quien era un cirujano ortopedista que empleaba alambres para reparar huesos, y Mandelbrot asintió.

La codificación bostoniana mostrada arriba es parte de la tesis de mi primer doctor Nelson Obregón, quien, además de ser el autor de la mayoría de las figuras en mis libros y este blog, ha tenido una carrera académica distinguida en la Pontificia Universidad Javeriana en Bogotá, Colombia, incluyendo el haber sido director del Instituto Geofísico de los Andes, no poca cosa. Ciertamente, ha sido una alegría para mí el desarrollar y aplicar las ideas platónicas en diversos ámbitos y el contar con colaboradores juiciosos y soñadores que se han convertido en miembros de mi familia.

Deseo nombrar con toda gratitud al Sivakumar Bellie, fiel y prolífico investigador y pensador, hoy por hoy profesor en el Instituto Tecnológico de la India, Bombay, no poca cosa; a Andrea Cortis, soñador de lo imposible en ciencia y hermano en la fe, no poca cosa; a Jason Huang, alias “Segundo”, extraordinario programador y autor de la animación de mi canción X = Y, no poca cosa; a Víctor Peñaranda, “nieto” mío al ser discípulo de Nelson, cuya tesis doctoral acerca de cómo modelar la lluvia fue de veras excelente y no poca cosa; a David Serrano, “bisnieto” mío al ser discípulo de Víctor, quien, además de invitarme a dictar conferencias en la Pontificia Universidad Bolivariana de Bucaramanga, Colombia, en donde enseña, me ha dado dos “tataranietos” de la ciencia en Fernando Torres y María Paula Sanabria, no poca cosa; a Mahesh Maskey, mi segundo y último doctor, emprendedor como pocos y ejemplo vital de entereza y entrega; y, finalmente, sabiendo que a otros los citaré después, a mi hermano y colega Samuel Sandoval, quien se atreve, con la ayuda de Mahesh, y con otros “nietos” Laura Garza, Jorge Arroyo y Sara Pérez, a emplear las ideas fractales-multifractales para obtener simulaciones plausibles de datos de caudales a escalas en que no existe información, algo no trivial que obviamente no es poca cosa.

Y para seguir dándole crédito a quien lo merece, así no hayan sido colaboradores per se, deseo agregar a la lista a Akin Orhun, experto en computadoras asignado a mí cuando empecé a enseñar, quien amorosamente me “bombardeaba” diciéndome que aplicara las ideas más allá de la hidrología y más bien en la economía, lo cual posibilitó, con la ayuda de un amigo común llamado Daniel Fessler, que aparecieran los fondos que me permitieron conocer a una economista, quien desde hace casi 25 años es mi esposa Marta, no poca cosa, sobra decir; y también a Steve Bennett, interlocutor espléndido y apoyo veraz desde que me buscó, no por azar, para hablar de multifractales y sus aplicaciones para comprender mejor la estructura de los pulmones, amigo verdadero de años, pues aún en estos días confusos del virus con coronita hablamos para planear cómo ha de ser mi festejo al llegar a la meta de 35 años de trabajo académico, ciertamente no poca cosa.

En verdad, desde aquel viernes inspirado me convertí en un científico algo extraño, por eso de intentar hacer ciencia de una manera diferente y sin azar y por soñar con que la dinámica precisa de la geometría natural acaso pueda proveer la clave del entendimiento de los procesos físicos. A este respecto debo admitir que esto último puede no ser cierto, pues, aunque las ideas permiten codificar fielmente diversos conjuntos de datos naturales, no siempre hemos encontrado tendencias patentes, sino más bien de azar, en los parámetros (de alambres e iluminaciones) de grupos de datos sucesivos.

Así, y a pesar de nuestros mejores esfuerzos, no hemos podido predecir por medio de las nociones sin azar lo que habría de ocurrir en el futuro. ¿Qué decir, que al final ganó el azar? ¡Pienso que sí! ¡Y hoy por hoy creo que esto es así no por azar! Pues, sabiendo que otros procedimientos tampoco logran reproducir al detalle futuro—¡he allí el meollo: la localización precisa de las peculiaridades!—, acaso lo que sucederá representa una limitación esencial a nuestro conocimiento, algo así como no ser capaces de predecir un sistema caótico a menos que tuviéramos un ordenador que calcule con infinita precisión, pues además, por diseño divino, la clave de la vida está en el día a día, en el hoy de este instante, y no en el porvenir.

Para terminar esta sección, pues todavía faltan más sorpresas, deseo contar que algunos han creído, equivocadamente, que las nociones fractales-multifractales fueron ideadas por Michael Barnsley. En verdad, aunque seguramente él, dotado de grandes cualidades, bien hubiera podido desarrollarlo todo, no fue así, y fue a mí a quien le tocó por suerte (por no decir sin azar) ser el puente entre los multifractales de la turbulencia y los alambres fractales que él introdujo. Habiendo hablado con él en una conferencia en Atlanta, cuando él anunció la conformación de una empresa para codificar y comprimir información empleando la reiteración de reglas sencillas (algo que no sé cómo hacer), a los pocos meses le envié algún escrito con las ideas aquí expuestas. A él claramente le gustaron, pues un buen día, creo que fue sábado, me llamó por teléfono desde Atlanta a Colombia, en donde estuve hace ya unos treinta años, y me dijo muy solemnemente: “¿qué debemos hacer para que vengas a trabajar con nosotros?”, lo cual suscitó que lo visitara y compartiera una charla con los miembros de su equipo, incluido el ya citado John Elton. Al final, la prometida oferta de trabajo no llegó, digo hoy, gracias a Dios y no por azar, pues en ese momento hubiera dejado la soledad de la academia y muy seguramente hoy, en este instante del virus asesino, no estaría escribiendo campanitas …

… Aunque los resultados esbozados hasta aquí son notables y a este hidrólogo algo extraño le producen mucha alegría y gozo, hay, en efecto, otras sorpresas dignas de explicación que me tocó por suerte descubrir sin merecerlo.

Como se pueden construir alambres que llenan espacios arbitrarios en el plano, con dimensiones fractales que abarcan valores de 1 a 2, resulta ser relevante estudiar la “sombra” que se genera en el límite cuando un tal alambre llena tanto espacio como el plano, es decir, cuando la magnitud de los parámetros d_1 y d_2, lo que llamamos anteriormente z, tiende a su valor máximo de 1.

Para el caso + -, cuando d_1 está muy cerca de 1 y d_2 de -1, digamos 0.995 y -0.995, he aquí la sorpresa que se obtiene: Al jugar el juego del caos con una moneda sesgada que viaja a la izquierda el 70% el tiempo y a la derecha el restante 30%, es decir, la misma de antes, se genera en el eje x el mismo multifractal espinoso de la turbulencia. Pero ahora la “montaña” ciertamente se torna más gruesa al construirse subiendo y bajando en potencias de z cercanas a 1, de modo tal que el rango del alambre se extiende (en el límite) de menos infinito a infinito, llenando así el espacio bi-dimensional, como si estuviera dibujado por un pintor de brocha gorda. Como puede observarse, lo que se genera en el eje y ya no está compuesto por espinas, sino que más bien es una curva lisa con la forma de una campana: la famosa campana de Gauss o distribución normal con centro finito, para ser exactos.

De una forma inesperada para mí, por medio del juego del caos encontramos que la violencia de la turbulencia y la eventual disipación de su energía reflejada en el objeto dx y la difusiva calma de la conducción del calor representada por la campana dy, eran—sin azar alguno—como las dos caras de un mismo alambre grueso, por no decir de una moneda, como en la expresión conocida. El resultado es insólito, aún hoy, pues forzar a alguien a que pruebe un perfume a la fuerza, de una manera turbulenta, es muy distinto a invitar a alguien a disfrutarlo dejando que el aroma se mueva libremente por el aire. Y, sin embargo, los dos comportamientos están allí juntos.

El que un histograma se pueda transformar en otro histograma, como está mostrado arriba cuando dx se transforma en dy, no es algo particularmente especial pues siempre puede hacerse. Pero sucede que lo que se observa allí es sólo un ejemplo de lo que el mismo alambre grueso es capaz de hacer, pues la misma función de x a y lleva o transforma, universalmente, cualquier entrada dx no-discreta a una campana. Por ejemplo, si en vez de emplear las reglas del caso, w_1 y w_2, con una proporción 70-30, ellas se usan, digamos, en una relación 40-60, entonces la nueva salida dy también define otra curva en forma de campana, y esto es así para cualquier sesgo posible en la moneda empleada y para cualquier permutación horizontal posible de dichos objetos. En verdad, no poca cosa.

Este resultado es realmente extraño, sin duda, y la clave está en la naturaleza del alambre límite de mayor dimensión posible, el cual tiene el poder de filtrar cualquier representación espinosa para convertirla en una lisa campana, y no sólo para procesos en cascada generados al lanzar monedas (y sus permutaciones) sino para cualquier entrada dx definida sobre un número no numerable de puntos, es decir una que incluye, por ejemplo, los datos de lluvia medidos en Boston mostrados antes, y objetos definidos sobre polvos infinitos dispersos, como aquellos dados por cascadas multiplicativas que propagan vacíos, como en el segundo juego de niños usado para comprender la naturaleza de la turbulencia y explicado aquí.

Lo esbozado en este relato dio lugar a una demostración matemática formal del resultado Gaussiano en el caso + -, la cual publicamos, con José Miguel Angulo, profesor en la Universidad de Granada y seguramente primo mío pues el apellido de mi madre fue Angulo; y con mis siempre recordados y admirados Miguel López y Jorge Pinzón, bajo el título “La distribución Gaussiana visitada de nuevo”. Dicho trabajo demoró meses en ser revisado, pero al final salió como lo enviamos, sin requerir corrección alguna, lo cual es raro y por ende no poca cosa.

El caso – – límite, cuando d_1 y d_2 tienden ambos a -1, no genera una sino dos campanas que oscilan, pues las bajadas y subidas de la construcción de dicho alambre se acoplan dando lugar a dos centros finitos. Este caso tomó tiempo entenderlo pues las dos campanas están localizadas relativamente cerca la una de la otra y entonces al superponerse parecían ser solo una.

De otro lado, el caso + +, el que da lugar a un alambre en forma de nube y alas de ángel, genera, cuando d_1 y d_2 tienden a 1, una campana dy, pero con la peculiaridad que ella se concentra en el infinito:Lo ilustrado aquí no es el límite en sí, sino lo que resulta al emplear z = 0.99. De todas maneras, aquí ya se vislumbra el resultado final, el cual preserva lo antes mencionado con relación a la turbulencia y a la calma, a la disipación y la conducción de la energía, y también a la universalidad del resultado. Pues de una forma insospechada, es posible trastocar cualquier entrada no discreta dx y llevarla a una campana dy centrada y concentrada en el infinito, mediante un proceso como el big-bang al revés y también evocando las palabras de San Pablo cuando dijo: “¿Dónde está oh muerte tu victoria?, ¿Dónde está oh muerte tu aguijón? (1 Co 15:55).

A partir de todo esto y de meditar su posible significado llegó el amor vital a mi vida, cual relatado ya aquí, y con implicaciones teológicas de largo alcance: el Espíritu Santo aquí, la Santísima Trinidad aquí y la Eucaristía aquí, a las cuales los invito, en caso que no las hayan leído aún.

Tal y como fue narrado con emoción en la campanita anterior, no ha sido fácil para mí el desempeñarme en los dos ámbitos del saber que he tenido la fortuna de estudiar: el de la ciencia y el de la teología católica. Pues, aunque sí es cierto que las ideas básicas hayan sido las mismas en las dos áreas y esto no sea debidamente apreciado, las nociones, cual explicado aquí, siguen siendo algo extrañas y, en consecuencia, yo también.

“La vida te da sorpresas, sorpresas te da la vida, ay Dios”, provee un dicho cierto más allá de la narración detallada de un asesinato que dio lugar no a una sino a dos muertes—¿no es así Rubencito?—, y es de esa manera, pero basado en la alegría de bellas sorpresas, que reitero que las sendas de Dios son, además de misteriosas, increíblemente misericordiosas, en particular para quienes lo buscamos de corazón. En verdad no tengo cómo explicar el que todo este trabajo haya llegado a mí sino diciendo que fue regalao (así está bien, sin la letra d), pues además sé muy bien que nunca tuve como merecer lo que me tocó descubrir …

… Sucede que hay todavía un poco más, pues las ideas pueden extenderse a más dimensiones, reiterando otras reglas “sencillas”, que contienen más coordenadas, y que viajan de un puntito a otro puntito en tres dimensiones, es decir, desde un punto genérico (x, y, z) a otro punto calculado en forma matricial—¡no se me asusten si leen esto y les parece que todo es un idioma extraño!—manteniendo el que la componente x esté desacoplada, por los dos ceros, de las otras:Aquí el sub-índice n representa la n-ésima regla a ser usada y la matriz:define los nuevos parámetros esenciales de las reglas (los antiguos d_n), los cuales, como se observa, están descritos en coordenadas polares, ¡qué frío!, con los valores r_n^{(j)} y \theta_n^{(j)} denotando los parámetros radiales, medidos desde el origen o polo, y los angulares, calculados desde el eje x en la dirección opuesta a las manecillas del reloj, respectivamente.

Sin desear confundir a nadie, el jugar el juego del caos reiterando estas reglas, satisfaciendo además condiciones similares a las mostradas en dos dimensiones cuando las reglas dejaban fijos dos puntos y apuntaban al punto de la mitad—¿se acuerdan?, las que tenían aritos azules y rojos y flechas de colores hacia el medio—, genera ahora, puntito a puntito, un alambre fractal que vive en el espacio en tres dimensiones, cuya dimensión fractal puede ser igual a cualquier número entre 1 y 3.

Como se ilustra aquí empleando dos tales reglas en tres dimensiones y una moneda justa:un alambre no trivial finamente ensortijado, con dimensión fractal entre 2 y 3 y que viaja de x a (y, z) da lugar a una “sombra” interesante, un único histograma sobre dos dimensiones que, al final, no depende del azar. Como se puede notar, el objeto dyz, claramente complejo, refleja el número de cruces del alambre por líneas verticales (al haberse empleado una moneda justa) y esboza una “sombra” que evoca una serie de edificios rodeando un parque en el medio. Tales proyecciones, variando los parámetros del caso, se parecen, en efecto, a observaciones naturales en dos dimensiones y así las nociones extienden el sueño platónico de poder describir la realidad como una sombra.

Lamentando el que estas nociones no las hayamos podido estudiar en detalle durante mi carrera, en gran parte porque no logré conseguir los fondos del caso, a continuación se muestra la proyección sobre un volumen y diversos planos de un alambre que vive en cuatro dimensiones, es decir obtenido por reglas que contienen no tres sino cuatro coordenadas: Como se observa en el ejemplo, el objeto parece describir, por sus tonos de gris, diferentes concentraciones de un contaminante dentro del suelo o acaso una columna de humo en el aire, y sus vistas desde arriba y desde los costados, todas definidas empleando pocos parámetros, reiteran que acaso Platón tenía razón.

A este respecto debo recalcar el trabajo de mis coterráneos Martha Cecilia Díaz y Oscar Robayo, quienes emplearon estas ideas, con sombras sobre dos dimensiones, para mostrar que con ellas no sólo se podían aproximar las sucesivas geometrías bi-dimensionales de la evolución verticalmente promediada de un contaminante, sino que los parámetros de las reglas halladas en función del tiempo exhibían claras tendencias que permitían entender y predecir el proceso. Sin duda, el lento movimiento en el sub-suelo—contrario a lo observado en los procesos naturales antes nombrados, como la lluvia y los caudales—definió la presencia de tendencias a partir de las cuales se hallaron extrapolaciones fieles, empleando sólo información geométrica, reflejo de la física y la química. Estos resultados, no poca cosa, ciertamente proveyeron esperanza a que algo similar pudiera hacerse con otro tipo de datos …

… Sucede, ya para finalizar con otras sorpresas, que, en el límite cuando un alambre crece de modo que llena el espacio tri-dimensional y su dimensión fractal tiende a 3, el juego del caos genera campanas Gaussianas definidas sobre dos dimensiones. Esto ocurre cuando los parámetros en coordenadas polares son tales que las magnitudes de todos los parámetros radiales r_n^{(j)} tienden a 1 y los parámetros angulares \theta_n^{(j)} se sincronizan satisfaciendo \theta_n^{(1)} = \theta_n^{(2)} + k_n \pi, para un valor de k_n entero, es decir de modo que los ángulos en cada regla sean iguales o difieran en múltiplos de 180 grados.

En el caso más sencillo que emplea solamente dos reglas, n = 2, existen dieciséis posibles combinaciones de signos en los parámetros r_n^{(j)} , y, en el límite, doce casos definen campanas Gaussianas y los otros cuatro dan lugar a oscilaciones entre campanas, tal y como sucedió antes en el llamado caso – -, pero esta vez campanas cuyos centros danzan alrededor o dentro de un círculo.

Aunque pueden encontrarse diversas campanas elípticas, el caso más común corresponde a campanas circulares: Aquí se ve como un multifractal dx, el mismo objeto de antes asociado con una moneda 70-30 y dibujado abajo al centro, ilumina un alambre límite de x al plano (y, z)—mostrado a la derecha en sus componentes de x a y y de x a z como pintadas a brocha gorda al tener dimensiones fractales tendiendo a 2—para generar una campana bi-dimensional, tal y como se observa a la izquierda desde arriba en dyz y por los lados en dy y dz. Esta es pues una campana circular, cuya superficie evoca las campanas que anuncian milagros en las iglesias.

Tal y como sucedió anteriormente, ocurre que lo encontrado es universal pues siempre se obtiene, en el límite, una tal campana si se reemplaza el dx mostrado por cualquier entrada no-discreta, es decir por una definida por un número infinito no numerable de puntos, como sobre un intervalo o sobre un polvo infinito generado por una cascada de vacíos.

Conjuntamente con Aaron Klebanoff, brillante matemático y colaborador por un tiempo, nos dimos a la tarea de demostrar, matemáticamente, que lo ilustrado aquí a partir del juego del caos, llevado a cabo digamos un millón de veces, era, en efecto, una campana de Gauss circular. Luego de diversos esfuerzos, que contaron con la ayuda de bellos programas que permiten manipular fórmulas matemáticas, finalmente desistimos del intento y lo publicamos todo como una conjetura numérica bajo el título Gaussians Everywhere, en honor al citado libro de Michael Barnsley y en virtud a que, si se restringen los cálculos a pedacitos de los alambres, ellos también definen, por todos lados y en el mismo límite, el mismo tipo de campanas, no poca cosa, así toque leer la frase más de una vez.

A Aaron se lo ocurrió que dibujáramos, paso a paso, secuencias de puntitos que terminaban en los círculos, digamos de 2,000 en 2,000, para ver si de allí surgía alguna pista que permitiera probar la conjetura y volverla un teorema. Hicimos algunos diagramas y no vimos nada que pudiera ayudarnos y él partió para hacerse profesor en el Rose-Hulman Institute of Technology en Indiana y yo dejé de trabajar en ello pues me aconsejaron no centrarme en lo que obviamente no era hidrología, pues para entonces yo era todavía un profesor primerizo en la Universidad de California, Davis y no tenía la seguridad de poder continuar en la universidad.

Una vez me otorgaron el anhelado “tenure”, la permanencia en la institución, volví a retomar las ideas, pero haciéndole un cambio tonto a los cálculos. En vez de utilizar para la magnitud de los parámetros radiales r_n^{(j)} un valor de 0.99, le agregué un 9, o sea 0.999, y esta fue la sorpresa que encontré:La reiteración de reglas sencillas en tres dimensiones, con todos los ángulos \theta_n^{(j)} iguales a 90 grados, da lugar, en el plano (y, z) para las reglas mostradas arriba, a una secuencia de bellos patrones simétricos de cuatro puntas, cristales que no se veían cuando sólo se usaban dos nueves al no estar todo lo suficientemente cerca del límite, así la figura global con un millón de puntitos y dos nueves sí mostrara el límite correcto.

Si en vez de emplear ángulos de 90 grados se emplean todos iguales a 60 grados, aparece otra bella galería de patrones, ahora con seis puntas (360/60):Los tesoros dentro de la campana mostrados aquí son sólo ejemplos de una infinidad de bellos cristales que se entrelazan entre sí (y con otros muchos más) para conformar círculos perfectos y campanas veraces. Las geometrías obtenidas esta vez sí dependen finamente de la secuencia de caras y sellos empleada al jugar el juego del caos, y si dicha secuencia cambia, se obtienen, a su vez, otros bellos rosetones que certifican la existencia y belleza de un teorema del límite central insólito, así aún falte una demostración de los hechos.

Las rosetas cambiantes dentro de la campana, para equiparar los géneros, conforman caleidoscopios originales que evocan el concepto en “El Alef”, tal y como lo introdujo el gran escritor argentino Jorge Luis Borges en su famoso cuento bajo el mismo título. Literalmente, el seleccionar parámetros radiales con magnitudes que tienden a 1 y ángulos que dividen 360 grados exactamente, define, por medio del juego del caos, un “punto de luz” (para citar a Borges) a partir del cual se observan muchísimos y variados patrones exóticos que hacen explícita la noción, no borgiana sino mía, que existe un orden oculto en el azar.

¡La próxima vez que escuche una campana, acuérdese que la melodía que hace para llamar la atención está reflejando una belleza insospechada! ¡Y cuando no la oiga, no olvide que la hermosura aparece sólo en el límite esencial, en la plenitud de la dimensión, a la cual debemos tender para poder experimentar las sorpresas exquisitas del amor!

Un lector perspicaz ya sabe de dónde provienen los bellos rosetones que adornan estas campanitas de fe. Ellos son ejemplos contenidos dentro de la campana, hallados usando el juego del caos empleando monedas justas o sesgadas unas 20,000 veces, y casi siempre dibujados usando dos colores que corresponden al uso de dos reglas. Por ejemplo, las incluidas en este geométrico relato y coloreadas en rojo y azul provienen de parámetros angulares iguales a 18 grados, y esto es así pues contienen 20 puntas (360/18).

Los tesoros de la campana, libro que nunca soñé escribir, son ciertamente variados, y sabemos, hoy por hoy, que todos los bellos cristales de hielo naturales son diseños geométricos que viven dentro del insospechado depósito de patrones que es la curva bien llamada normal:Los mostrados aquí fueron hallados con la debida paciencia, puntito a puntito, por mi esposa Marta, quien en vez de trabajar con datos económicos, me ayudó a crecer cristales—¡y después a criar hijas!—, empleando plantillas de fotos elaboradas por Nelson Obregón.

Sucede que esto hace sentido físico, pues los cristales crecen en la naturaleza por difusión como está reflejado en la campana de Gauss. ¡Vaya sorpresa ésta! ¡Aunque no lo sabíamos cuando no me habían promovido, el trabajo sí tenía mucho que ver con la hidrología! Y esto, aunque no se pueda predecir tampoco cuál cristal se ha de formar en una condición dada de temperatura y humedad.

Existe aún otra aplicación notable de las ideas. La roseta del ADN de la vida, una que posee 10 puntas al provenir de proyectar la doble hélice que se dobla cada 36 grados, también se encuentra dentro de la campana de Gauss bi-dimensional:Aunque existen diversas secuencias de caras y sellos que pueden llenar una plantilla del objeto a la izquierda, como se halla en textos de bioquímica, sucede que dicho patrón también se puede aproximar fielmente al llevar a cabo el juego del caos con dos reglas guiadas por la expansión binaria del número irracional \pi, con 1 denotando, por ejemplo, cara y 0 sello o cruz, como se ilustrada a la derecha. De hecho, el objeto mostrado dentro de la campana aparece usando parámetros radiales con magnitud igual a 0.99999999—¡creo que aprendí muy bien la lección!— y parámetros angulares iguales a 36 grados, y reiterando dos reglas 40,000 veces, de modo que el rosetón corresponde al segundo grupo obtenido de 20,000 puntitos.

Todo esto se halló como intentando encontrar una aguja en un pajar, pues, aunque una intuición misteriosa y visceral me incitaba a buscar la roseta vital dentro de la campana, no había manera de saber si en verdad el patrón aparecería y menos si saldría empleando la expansión binaria de \pi dibujando cada cierto número de puntos, acaso cada 5,000, o 10,000, o 15,000 o qué se yo o 20,000 como finalmente sucedió. Así pues, la labor fue una que empleó el método trillado del ensayo y error, algo así como la fuerza bruta, utilizando diversas geometrías de puntos en tres dimensiones por los cuales habría de pasar un alambre límite para varias combinaciones de signos en los parámetros radiales, y todo yendo hasta 1 millón de puntos en la expansión binaria de \pi, es decir hasta hallar 50 figuras sucesivas, las cuales dibujábamos de cuatro en cuatro y bajo la supervisión de Nelson Obregón, a quien le preguntaba, cuando lo veía, si habíamos tenido suerte o no. Un viernes de verano, lo recuerdo bien, tarde en la tarde, Nelson se fue a jugar futbol y me pasé por su oficina ya anocheciendo para ver qué figuras habían salido últimamente, y allí, en una pila en la impresora, estaba esperándome el rosetón que buscábamos.

De una forma curiosa y sugerente, los radios y los anillos del patrón guiado por el omnipresente número de los círculos, ligado con Dios Padre aquí, aparecen en los sitios correctos, lo cual es extraordinario desde un punto de vista probabilístico pues se deben alinear muchos bits (ceros o unos) para que esto suceda. ¡Qué resultado tan extraño y hermoso hallamos! “El ADN, \pi y la campana” están ligados y eso me incita, aún hoy, a respirar profundo para meditar con calma.

Dado que un mismo alambre límite puede almacenar muchísimos rosetones empleando grupos de puntitos ligados con cualquier número irracional como \pi, es decir tanta información que en verdad no cabe en el entendimiento, los resultados aquí resumidos no sugieren, para nada, la presencia de un “relojero ciego” como algunos lo aducen con no poca altivez, sino más bien la de un visionario extremadamente capaz. Pues si todo esto ocurre con un “simple” alambre en tres dimensiones, qué más no se podrá codificar en alambres que viven en más dimensiones, reforzando la noción del profeta Isaías cuando afirmó en nombre de Dios Padre:

“Porque no son mis pensamientos vuestros pensamientos, ni vuestros caminos son mis caminos – oráculo de Yahveh -. Porque cuanto aventajan los cielos a la tierra, así aventajan mis caminos a los vuestros y mis pensamientos a los vuestros” (Is 55:8—9).

¿Cómo no alabar la grandeza de Dios? Yo, sabiéndome pequeñito, ciertamente intento no olvidarlo.

Hubo aquí en la Universidad de California, Davis un profesor Joel Keizer, quien fue director del Instituto de Dinámica Teórica y jefe de tesis de mi amigo y consejero computacional John Wagner, cuya partida a destiempo (si así se la puede llamar) me conmovió. Él, el director que murió, al final de alguna charla que di en dicho instituto, muy seguramente bajo el título “De Platón a Borges”, exclamó emocionado diciéndome que lo que había mostrado era de las cosas que requerían hacer un viaje a la playa para reflexionarlas allí. Por él supe, como lo sé hoy, que lo que llegó a mí, de puntito a puntito, había sido muy bello, y muy seguramente no poca cosa.

Para terminar, acaso de una forma sorpresiva, esta campanita no incluye una canción sino una poesía, seguida de un par de animaciones que esbozan patrones que Borges no vio, pero que acaso sí imaginó.

LA CAMPANA SILENTE

¡Cómo se oye, por Dios!

La campana tañe consciente
codificando sutil verdad,
y sus alambres clarividentes
bellos realzan la inmensidad.

Sus diseños regalan vida
alefs precisos no por azar,
y en su pleno se halla rima
oh armonía sin ansiedad.

La campana arde inmutable
enarbolando poder cual más,
y su simpleza inconfundible
derrota siempre la tempestad.

Sus rosetas brotan hermosas
fieles reflejos de lo normal,
y en su calma sin más espinas
se llena el pecho con caridad.

La campana vibra silente
guiando todo a la unidad,
y sus sombras ya coherentes
prestas anuncian la libertad.

(Junio 2001/Enero 2017)

La poesía se puede escuchar aquí…

Una secuencia caleidoscopica de patrones con seis puntas se puede ver aquí…

El crecimiento de diversos cristales se puede observar aquí…

 

 

 

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4 respuestas a De puntito a puntito

  1. nelson dijo:

    Excelente testimonio de vida, alegrías, solidaridad, de amor por la humanidad. Gracias maestro, gracias por habernos permitido haberlo acompañado en esta gran aventura del conocimiento y de la vida.

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  2. Mahesh Maskey dijo:

    Es tan hermoso el pensamiento del profesor Carlos, una de las grandes inspiraciones de mi vida. Este blog refleja cuán grande es su corazón, lo cual no he visto en los otros investigadores que he encontrado en mi vida. Sus ideas de investigación son en verdad elegantes y originales. Pocos aprecian cuánto él entendió los objetivos de las ciencias y las matemáticas.

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  3. Victor Peñaranda dijo:

    Me honra ser parte de tu gran familia, pues mi llegada a ella empezó con el simple deseo de aprender algo acerca de los misterios detrás de la complejidad fractal y en el camino no sólo he aprendido algo de ciencia, también he conocido personas tan especiales como lo eres tu (mi ejemplar abuelo), Nelson Obregón, David, Fernando, María Paula y Óscar Mesa. Aún más, hoy por hoy me doy cuenta que este camino de la ciencia, los fractales y la lluvia me han acercado más a Dios. Te felicito por todo tu trayectoria científica y por todas tus enseñanza a lo largo todos estos años.

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  4. Lau Garza dijo:

    De puntito en puntito, ay como disfruté de esta campanita vestida de poesía!
    Muchas gracias por compartir tu travesía en el mundo de los fractales, realmente inspirador.

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